Classificazione Endomorfismi

Classificazione Endomorfismi

Introduzione

Dato uno spazio vettoriale V di dimensione finita n un endomorfismo è una applicazione lineare di V in V.

Isomorfismo con R

Assumiamo qui, senza dimostrarlo, che ad ogni endomorfismo, stabilita una base B di n vettori linearmente indipendenti, corrisponde una matrice di dimensioni NxN.

Matrici Simili

Due matrici A e A’ si dicono simili se esiste una matrice invertibile M tale che 𝐴

= 𝑀

𝐴𝑀

Esiste allora una base B’ tale che A’ è la matrice delle stesso endomorfismo di cui A è la matrice nella base B, e M è la matrice di cambiamento di base da B’ a B, e la sua inversa è la matrice di cambiamento di base da B a B’.

Classificazione Endomorfismi

La classificazione degli endomorfismi si può effettuare attraverso delle matrici a loro associate scritte in una

qualche base canonica comune. Lo schema sottostante riporta una classificazione generale:

Endomorfismi Diagonalizzabili

Sono gli Endomorfismi per cui esiste una matrice simile che è Diagonale, cioè nella forma:

𝐴

=

⎝

⎜ ⎛ 𝜇

0 0

⋱ ⋯

⋯ 0

⋮ 𝜇

0 ⋮ 0 ⋮ ⋯

⋯ ⋱

0 0

𝜇

⎠

⎟ ⎞

Dove cioè tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale sono nulla, in altra forma:

𝑎′

= 𝜇

𝛿

Un Endomorfismo può avere una matrici in tale forma solo se esistono n direzioni (vettori) tale che 𝑓(𝑣) = 𝜇𝑣

Cioè tali che v e f(v) appartengono alla stessa retta, in altre parole che esiste una decomposizione di V in n sottospazi f-invarianti di dimensione 1. Per trovare una tale decomposizione è necessario:

1)Trovare gli elementi della diagonale principale, detti auto valori Questo possono essere trovati risolvendo l’equazione

𝐷𝑒𝑡(𝐴 − 𝜇𝐼) = 0

Gli auto valori devono essere, presi ognuno con molteplicità, n (altrimenti non posso trovare n sottospazi con questa proprietà). Quindi se per esempio operiamo nel campo dei Reali e otteniamo degli auto valori complessi l’Endomorfismo non è Diagonalizzabile.

2)Controllare l’esistenza degli spazi f-invarianti, detti Autospazi Le dimensioni degli auto spazi sono date da

𝐷𝑖𝑚�𝑉

� = 𝐷𝑖𝑚(𝐾𝑒𝑟(𝐴 − 𝜇

𝐼))

Per ogni auto valore la dimensione del relativo auto spazio deve essere uguale alla molteplicità algebrica che presenta nell’equazione soprastante, così che la somma delle dimensioni degli auto spazi sia N.

Se le ipotesi sono verificate allora:

𝐴

=

⎝

⎜ ⎛ 𝜇

0 0

⋱ ⋯

⋯ 0

⋮ 𝜇

0 ⋮ 0 ⋮ ⋯

⋯ ⋱

0 0

𝜇

⎠

⎟ ⎞

, 𝑀 = (𝐵

… 𝐵

… 𝐵

)

Cioè M è composta da tutti gli auto vettori.

Endomorfismi Diagonalizzabili

Sono Triangolabile gli Endomorfismi per cui esiste una matrice simile che ha la forma

𝐴

=

⎝

⎜ ⎛ 𝜇

0 ?

⋱ ⋯

⋯ ?

⋮ 𝜇

? ⋮ 0 ⋮ ⋯

⋯ ⋱

0 ?

𝜇

⎠

⎟ ⎞

nel caso disegnato siamo nel caso di una triangolare superiore, naturalmente ridisponendo opportunamente i vettori della base B’ possiamo ottenere una triangolare inferiore come questa:

𝐴

′ =

⎝

⎜ ⎛ 𝜇

? 0

⋱ ⋯

⋯ 0

⋮ 𝜇

0 ⋮

? ⋮ ⋯

⋯ ⋱

? 0

𝜇

⎠

⎟ ⎞

DEF: è detta matrice triangolare/diagonale a blocchi una matrice che ha gli unici elementi diversi da zero situati in blocchi NxN sulla diagonale, per esempio:

� 𝐷 0 0 0 𝐸 0 0 0 𝐹 �

Dove D,E ed F sono matrici qualsiasi, e gli 0 rappresentano matrici nulle

PROP: dato un endomorfismo di cui abbiamo trovato p auto valori che, contati con la loro molteplicità algebrica (come soluzioni dell’equazione della pagina precedente), sono n (quindi l’equazione di grado n ha tutte soluzioni appartenenti al campo in cui operiamo (questo è per esempio sempre vero su C), e tale che associati a quei p autovalori abbiamo q auto vettori, allora la matrice A sarà simile a una matrice diagonale a blocchi A’ composta da q blocchi, detti blocchi di Jordan.

Per ogni auto valore consideriamo la successione

𝑑

(𝑛) = 𝐷𝑖𝑚(𝐾𝑒𝑟((𝐴 − 𝜇

𝐼)

))

Evidentemente d(1) è il numero degli autovettori. Questa successione è strettamente crescente fino a un certo k per cui d(k) è uguale alla molteplicità algebrica del relativo auto valore.

Partendo da questa successione possiamo definirne un’altra:

𝑚: [1, 𝑘] → 𝑁, 𝑚(𝑛) = 2𝑑(𝑛) − 𝑑(𝑛 − 1) − 𝑑(𝑛 + 1), 𝑚(1) = 2𝑑(1) − 𝑑(2), 𝑚(𝑘) = 𝑑(𝑘) − 𝑑(𝑘 − 1) Allora avremo relativamente a quell’autovalore, m(1) blocchi di J di dim 1, m(2) blocchi di J di dim 2…ecc, fino a m(k) blocchi di dim k. Un blocco di Jordan è così composto:

𝐽(𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒, 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒) = 𝐽(𝜇, 𝑛) =

⎝

⎜ ⎜

⎛

𝜇 1 0 … 0 ⋯

⋱ ⋱ ⋯ 0

⋮ ⋱ 0 ⋮

⋮ 0 … 1

⋱ … ⋱ ⋮

⋮ 0 ⋱ 0

0 ⋯ 0 ⋱

⋯ ⋯ … 1

0 𝜇⎠

⎟ ⎟

⎞

In pratica si tratta dell’identità moltiplicata per l’autovalore e poi viene sommata una matrice con tutti uno lungo la striscia obliqua sovrastante la diagonale principale. Quindi un blocco di Jordan è anche triangolare superiore. Componendo più di questi elementi lungo la diagonale principale la matrice risultante, oltre a essere diagonale a blocchi, è anche triangolare superiore.

Esempio: un endomorfismo con gli auto valori:

1 di molteplicità algebrica 3 e geometrica 2, e con d(1)=2, d(2)=3 2 di molteplicità algebrica 2 e geometrica 1, e con d(1)=1, d(2)=2 Allora relativamente all’autovalore 1 abbiamo m(1)=1, m(2)=1 Relativamente all’autovalore 2 abbiamo m(1)=0, m(2)=1

Quindi la matrice di questo endomorfismo è simile a una matrice diagonale a blocchi di Jordan con un blocco J(1,1), un blocco J(1,2) e un blocco J(2,2):

𝐴

= � 𝐽(1,1) 0 0

0 𝐽(1,2) 0

0 0 𝐽(2,2) � =

⎝

⎜ ⎛

1 0 0 1 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 1 0

0 2 0

0 0 0 0 2⎠ 1

⎟ ⎞

Sul campo C questo termina la classificazione degli endomorfismi.

Endomorfismi Diagonalizzabili a blocchi

Nel caso in cui alcuni auto valori non esistono nel campo in cui operiamo (ad esempio R) possiamo procedere così: si trovano gli autovalori estendendo il campo (per esempio da R a C): tali auto valori saranno nel nostro caso complessi e coniugati a coppie. Quindi si passa a determinare gli auto vettori relativi, che saranno anche questi coniugati a coppie, cioè

𝑣

= 𝑣

Possiamo quindi per ogni coppia di auto valori (i cui auto vettori formano una spazio f-invariante di dimensione 2) formare una base reale prendendo parte reale e parte immaginaria di uno dei due auto vettori, che non sono altro che una combinazione lineare dei 2, infatti:

𝑅𝑒�𝑣

� = 𝑣

+ 𝑣

2 = 𝑣

+ 𝑣

2 𝐼𝑚�𝑣

� = 𝑣

− 𝑣

2𝑖 = 𝑣

− 𝑣

2𝑖 Questo darà origine a un blocco (detto polare) del tipo

𝑃 = �𝑅𝑒�𝑣

� 𝐼𝑚�𝑣

�� = �𝑅𝑒(𝜇) −𝐼𝑚(𝜇) 𝐼𝑚(𝜇) 𝑅𝑒(𝜇) � = 𝜌 � 𝐶𝑜𝑠𝜃 −𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃 �

Per gli altri auto valori reali si può procedere come nel caso degli endomorfismi triangolabili. Allora la forma

canonica di un endomorfismo qualsiasi (su R) è una matrice diagonale a blocchi, composta da blocchi di

Jordan e da blocchi polari.