+ + = < < ( )= ( ) = ( ) = ∈ > ￿ + + − + + ( + )( + ) + − + ￿ − + √ − [ ( )] + < < − ( ) ￿ ( + ) > √ ( + ) ( − ) ( + ) ￿ 8 . 8 P roblemi

calcolo di integrali 8-13

8.8 Problemi

Problema 8.1. � Calcolare i seguenti integrali:

(I) � _+∞

−∞

dx (1+x²)³

[3π/8]

(II) � _+∞

−∞

x⁴dx

(a+bx²)^{4 , a, b}>0

[π/(16a^3/2b^5/2)] (III)

� _+∞

−∞

e^axdx

1+e^x , 0<a<1

[π/[sin(aπ)]]

(IV) � _2π

0

dθ 3−^{2 cos θ}+sin θ

[π ] Problema 8.2. � Calcolare i seguenti integrali:

(I) � _∞

0

dx 1+x⁶

[π/3 ]

(II) _�

∞

−∞

a cos x+x sin x x²+a² dx

[2πe^−a] (III)

� _2π 0

cos 3θ 5−^{4 cos θdθ}

[π/12 ]

(IV) _�

∞

−∞x²ⁿe^−ax2dx , n∈^Z+, a>0 (V)

g(ω) = ¹ 2π

� _∞

−∞

e^−iωx cosh xdx

� e^−|ω|π/2 1+e^−|ω|π

�

(VI) _�

∞ 0

sin ax sinh xdx

� π

2 tanhaπ 2

�

(VII)

� ₊₁

−1

dx

�3

(1+x)²(1−x)

[2π/√ 3 ] Problema 8.3. � Calcolare i seguenti integrali:

(I) � _2π

0

dt 5−3 sin t

[π/2]

(II) � _2π

0

dt 3−2 cos t

[2π/√ 5]

(III)

� _2π 0

cos tdt 13+12 cos t

[−^{4π/3 ]}

(IV) � _∞

−∞

dx (x²+1)(x²+4)

[π/6]

(V) � _∞

−∞

dx cosh x

[π]

(VI) _�

∞

−∞

x sin πx x²+2x+5 Problema 8.4. � Dimostrare che

(I)

� _∞

0 sin(x²)dx=

� _∞

0 cos(x²)dx= ¹ 2

�π 2

(II) � _∞

0

x^p

1+xdx= ^π

sin pπ, 0<p<1

8-14 introduzione ai metodi matematici della fisica

(III)

� _∞ 0

ln x

1+x²dx=0

(IV) � _∞

0

ln(x²+1)

x²+1 =πln 2 Problema 8.5. � ^Calcolare

(I)

L⁻¹

� 1

(s+1)(s−²)²

�

[1 9e^−t+¹

3te^2t−¹₉e^2t] (II)

L⁻¹

� 1

(s²+1)²

�

[1

2(sin t−t cos t)] (III)

L⁻¹

�e^−a√s s

�

[1−^{erf �}a/2√ 2�

]

Il prossimo è un problema fuori programma.

Problema 8.6. Il problema di Keplero del moto di un corpo di massa m in un campo centrale−k/r può essere risolto in termini di variabili azione- angolo. Risolvendo l’equazione di Hamilton-Jacobi in coordinate sferiche(r, θ, φ), e separando le va- riabili, si ottiene una forma integrale delle variabili

d’azione Jφ, Jθ e Jr. Per la variabile d’azione radiale si trova

Jr =

� prdr=

� �

2mE+^2mk

r −(Jθ+Jφ)²

4π²r² dr (�) dove E è l’energia, assunta negativa (stato legato), l’integrazione è su un orbita con perielio r1e afe- lio r2. L’interesse in questo integrale sta nel fatto che se riusciamo ad esprimere l’energia E in ter- mini delle variabili d’azione, cioè se determiniamo l’hamiltoniana H =E in funzione di Jφ, Jθ e Jr, pos- siamo determinare le frequenze del moto, sulla base dell’equazione

ν_i= ^∂H

∂Ji

Sommerfeld, che contribuì molto allo sviluppo della

“vecchia” meccanica quantistica à la Bohr, basata su condizioni di quantizzazione�

pidqi = nih per gli integrali d’azione , risolse l’integrale (�), con i metodi dell’analisi complessa.

1. Siete in grado di fare altrettanto ? (Come aiuto, si tenga presente che perielio e afelio sono punti di diramazione e che conviene prendere un taglio tra di loro e ... )

2. Fatto questo, dovreste poter verificare che c’è una sola frequenza del moto e che il periodo è dato da

T=πk

� m

−2E³

[Si veda il libro di Goldstein di meccanica classica.]