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Determinare massimi e minimi assoluti della funzione
Dominio: Df =∀
( )
x,y ∈ℜ2 :4−x2 −y2 ≥0 → x2 +y2 ≤4Poiché la funzione è simmetrica rispetto all’asse z ,
(
f(
−x,−y)
= f(
x,y) )
, lo studio possiamo limitarlo al solo 1° quadrante: x≥0, y≥0 .Dalla condizione necessaria :
( )
( ) (
0,0)
0 4
0 4
0 ,
0 ,
2 2
2 2
P y
x y
y x
x
y x f
y x f
y
x ⇒
− =
−
−
− =
−
−
⇒
=
= punto critico.
Il valore della funzione in P : f
( )
P = f(
0,0)
=2(
x,y)
4 x2 y2f = − −
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Analizziamo i punti vincolati alla frontiera del dominio : x2 + y2 =4
Utilizzando il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
= + ℜ
∈
∀
⇒
=
⋅
=
⋅
−
= −
→
±
=
⇒ =
=
→ =
±
=
⇒ =
=
=
= +
=
+
−
−
−
=
+
−
−
−
→
= +
=
⋅
− +
−
−
=
⋅
− +
−
−
→
=
=
⋅ +
=
⋅ +
4 :
0 0 0 0
4 2
1
0 , 2 2
0 4
; 0 2 , 2 0
0 4
0
4
0 2
4 1
0 2
4 1
4
0 2 4
0 2 4
0 ,
0 , ,
0 , ,
2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
y x y
x x
e y
y x e
x A y x
B y y
x y
cui x da
y x
y y
x
x y
x
y x
y y
x y
x y
x x
y x g
y x g y
x f
y x g y
x f
y y
x x
λ
λ λ λ
λ λ
λ
e trattandosi di funzione positiva nel suo Dominio, in tali punti assume dei punti di minimo assoluto, con valore:
( )
x,y =0 fRiassumendo quindi :
(
x y)
f , assume in
