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23:: xxD ≠ℜ∈∀ >−−+≤<−+−<−+−−= xxxxxxxxxxxxxf 232322233212233232

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Academic year: 2021

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(1)

La valutazione del valore assoluto porta a :

2 0 3

3 2

2 0

2

>

⇒

>

−

≥

⇒

≥

−

x x

x x

la funzione quindi è:

1. Dominio

2 : 3 : ∀ x ∈ ℜ x ≠ D

2. Intersezioni assi



=

−

⇒ =





=

− +

−

= −

0 1 0

3 2

3 2 2

x y x

x x y x

( )





− >

− +

≤

− <

+

−

− <

+

−

−

=

3 2 2

3 2

2 2 3 3

2

1 2

2 3 3

2

3 2

2 2

2

x x x x

x x x x

x x x x

x f

Sia f :ℜ→ℜ definita da :

( )

3 2

2 3

2 1 2 2

− + −

−

= −

x x x

x x f

Studiare e tracciarne un grafico sommario.

(2)



=

=





=

−

⇒ =





=

≤

<

= +

−





=

>

<

=

− +





=

>

−

−

= +





=

≤

<

− +

= −





=

<

− +

−

= −

0 , 1

0 2 3

0 2 2 3

0 1 2

, 0

2 2 ,

3

0 3 2

0 2

3 2

3 2

, 0

2 2 3

3 2

1 2

, 0

2 3

3 2

3 2

2 2

2 2

2

y x y

x

y x

x x

y

x x

x x

y x

x x y x

y x

x x y x

y x

x x y x

3. Limiti

+∞

=



 

 −



 

 + −

=



 

 −



 

 + −

 ⇒

 

∞ +

∞

= +

−

− +

+∞

− = + +∞ −

− = +

−

−

+∞

=



 

 −



 

− − +

=



 

 −



 

− − +

 ⇒

 

∞

−

∞

= −

− +

−

−

+∞

→ +∞

→ +∞

→

→

→

−∞

→

−∞

→

−∞

→

+

−

2 2

2 2

2 2

2

2

2 3 2

2 3

2 2

2 2

2 2

2

3 2

3 2 1

3 lim 2

3 2 1

3 lim 2

3 lim 2

3 2

1 lim 2

3 2

3 lim 2

3 2

3 2 1

3 lim 2

3 2 1

3 lim 2

3 lim 2

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x

x x

x x

x

4. Asintoti

Asintoto verticale

2

= 3 x

(3)

Verifica asintoto obliquo : y =mx+q

2

3 2 2 4 3 3 lim

2 4 3 3 lim

2 3 lim 4

3 2

3 lim 2

3 1 2

3 2 1

3 lim 2

3 2 1

1 lim 3

2

3 lim 2

2

3 2 2

4 3 3 lim

2 4 3 3 lim

2 3 lim 4

3 2

3 lim 2

3 1 2

3 2 1

3 lim 2

3 2 1

1 lim 3

2

3 lim 2

2

2

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2

+

=

=



 

 −



 

 −

=



 

 −



 

 −

 ⇒

 

∞ +

∞

= +

−

= −

− −

−

= +

=



 

 −



 

 + +

=



 

 −



 

 + −

 ⇒

 

∞ +

∞

= +

− ⋅

−

= +

−

−

=

−

=



 

 −



 

− +

=



 

 −



 

− +

 ⇒

 

∞

−

∞

= +

− +

= −

− + +

−

= −

−

=



 

 −



 

− − +

=



 

 −



 

− − +

 ⇒

 

∞ +

∞

= −

− ⋅ +

−

= −

−∞

→ +∞

+∞ →

→ +∞

→

+∞

→ +∞

→ +∞

→

−∞

→

−∞

−∞ →

→

−∞

→

−∞

→

−∞

→

−∞

→

−

−

−

−

x y

x x

x x x x x

x x x

x q x

x x x

x x

x x x

x x

x m x

x y

x x

x x x x x

x x x

x q x

x x x

x x

x x x

x x

x m x

x x x

x

x x

x

x x x

x

x x

x

5. Derivata 1^

( )

( )

( )

( )









− >

+

−

≤

− <

+

−

− <

− +

−

=

2 3

2

3 12 4

2 2 3 3

2

1 12 4

2 3 3

2

3 12 4

'

2 2

2 2 2

2

x x

x x

x x x x

x x x x

x f

(4)

Segno derivata 1^ :

Per

( )

2 6 3 2

6 0 3

3 12 4

0 2 '

3 2 +

<

− <

⇒

>

− +

−

⇒

>

⇒

< f x x x x

x

05 , 2 1

6 3 =−



 f −

Per

( )

2

2 , 3

2 2 0 3

1 12 4

0 ' 2 2

3 2

+

>

−

<

⇒

>

+

−

⇒

>

⇒

<

< x f x x x x x

(5)

Per

( )

2 6 , 3

2 6 0 3

3 12 4

0 '

2 2 +

− >

<

⇒

>

+

−

⇒

>

⇒

> f x x x x x

x

94 , 2 5

6 3 =



 f +

6. Derivata 2^

( )

( )

( )

( )





− >

≤

− <

− <

−

=

3 2 2

24

2 2 3 3

2 32

2 3 3

2 24

''

x x x x x x

x f

Segno derivata 2^ :

Per

( )

2 : 3 0

2 ''

3 ⇒ > ⇒ ∀ ∈ℜ <

< f x x x

x

(6)

Per

( )

2

2 : 3 0

'' 2 2

3< x< ⇒ f x > ⇒ ∀x∈ℜ < x<

Per x>2 ⇒ f ''

( )

x >0 ⇒ ∀x∈ℜ: x>2

Il grafico:

Riferimenti

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