1. Dominio :
{ }
∀ ∈ ℜ ≠
=
⇒
≠
− ℜ
∈
∀
= 3
: 4 0
4 3
: x D x x
x D
2. Intersezioni assi
( )
=
+
= +
⇒ =
=
+ −
−
=
0
16 2 ln 1 2 4 1 ln 2 0
2 3 4 1
3 ln 2
2
x y x
x x y
N.B. l’intersezione con l’asse delle ascisse , così come lo studio del segno , risultano complessi (algebricamente non possibili) e quindi li trascuriamo.
4. Limiti
(
−)
=−∞ − +(
−)
=+∞+
− →∞
→ 2
3 4 1
3 ln 2 lim 2 ,
3 4 1
3 ln 2 lim
2 2
3 4
x x x x
x x
5. Asintoti
Asintoto Verticale :
Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione ( è richiesto lo studio della derivata seconda e di eventuali asintoti obliqui) .
( ) ( )
2 3 4 1
3 ln 2
x 2
x x
f = − + −
3
= 4 x
Verifica asintoti obliqui : y =mx+q
( ) ( )
∞
− =
− −
⇒
∞
= ∞ + −
= →∞ − →∞
1 3 1 4 3 3
6 2 lim
3 4 1
3 ln 2 lim
2
x x x H
x x
m x x
non vi sono quindi asintoti obliqui .
5. Derivata 1^ Per
( ) ( ) ( ) ( )
4 3
2 5 9 3
4 3
18 45 3 27
1 4 3 3 ' 6
2 2
− +
= −
− +
= −
−
− −
= x
x x x
x x x
x x f
Segno derivata 1^ :
( )
, 13 0 2
2 5 3 0
' x > ⇒ x2 − x+ > ⇒ x< x>
f
5. Derivata 1^ Per
( ) ( ) ( ) ( )
4 3
2 5 9 3
4 3
18 45 3 27
1 4 3 3 ' 6
2 2
− +
= −
− +
= −
−
− −
= x
x x x
x x x
x x f
3 0 4
4
3x− > ⇒ x>
3 0 4
4
3x− < ⇒ x<
Segno derivata 1^ :
( )
13 0 2
2 5 3 0
' x > ⇒ x2 − x+ < ⇒ < x<
f
Calcolo delle ordinate dei punti di massimo e di minimo relativo :
+
+
= +
=
ln4
2 , 1 3 4 2
2 ln 1 2 2 1 ln 3 2
2
P1
f minimo relativo
( )
1 2 P2(
1,2)
f = = massimo relativo
6. Derivata 2^
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
22 2
2
4 3
14 24 9 9
4 3
2 5 3 3 4 3 5 9 6
'
' −
+
= −
−
+
−
−
−
= −
x x x
x
x x x
x x f
Segno derivata 2^ :
( )
92 2 , 12
9 2 2 0 12
14 24 9
0 '
' x > ⇒ x2 − x+ > ⇒ x< − x> + f
Calcolo delle ordinate dei punti di flesso :
( ) ( )
2(
1,02;2)
2 02 , 1 . 3 4 1
02 , 1 . 3 ln 9 2
2 2 12
3 2
P
f = − + − =
−
flesso
( ) ( )
7,58(
1,64;7,58)
2 64 , 1 . 3 4 1
64 , 1 . 3 ln 9 2
2 2 12
3 2
P
f = − + − =+
+
flesso
Il grafico :
Poiché m=3 ( equazioni ) e n =4 ( incognite ) si sceglie un minore di ordine massimo della matrice incompleta A .
−
− +
=
2 3 7 6
3 1 1
1 2 2
2 a
a
a a A
scelto ad es. 21
(
2)
2 3 7
3 1 1
1 2 2
−
=
−
− +
= a a
a B
Discussione:
1) Se a−2≠0 ⇒ a≠2 il sistema per R-C ammette ∞ soluzioni ( poiché 1 r
( ) ( )
A =r AC =3) 2) Se a−2=0 ⇒ a=2 sostituendo in A ,C
−
−
+
=
3 2 3 7 6
3 1 3 4
1 1
2 4 2
b b AC
e scegliendo un minore di ordine massimo (contenente il parametro b) della matrice completa A :
(
1)
14 3
1
1 1
2
1 − = −
+
= b b
b B
Discutere la risolubilità del seguente sistema lineare al variare di a,b∈ℜ.
( )
=
− + +
=
− + + +
+
= + + +
3 2 3 7 6
3 1
1 2
2
2
t z y x
b t z y a x a
b t z ay ax
da cui :
3) Se a =2 e b≠1 il sistema per R-C non ammette soluzioni (r
( )
A =2 , r( )
AC =3) infatti , mediante Gauss :
− + +
≅
≅
+ + +
≅
−
−
+
≅
−
−
+
=
b b b
b b b b
b b
b AC
2 2 0 0 0 0
1 4 10 7 15 0
1 2
2 4 1
5 2 10 7 15 0
3 4 10 7 15 0
1 2
2 4 1
3 6 3 7 2
4 1 3 3
1 2
2 4 1
3 2 3 7 6
3 1 3 4
1 1
2 4 2
4) Se a =2 e b=1 il sistema per R-C ammette ∞ soluzioni (2 r
( ) ( )
A =r AC =2)Svolgimento :
Applicando gli sviluppi in serie di Mac-Laurin si ha :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2 4 6( )
9( )
3 9( )
1414 9
3 3
3 2
3
! 1 3
8 4
3 2
2 3
! 1 3
! 1 1 2 2
x x o x b x
x o x x
c x a x f
x x o x b x
x o c
x a x f
− +
+
−
− + − +
+
−
=
− +
+
−
−
− +
+
−
=
Per l’argomento relativo vedere lez. 6 ( infinitesimi ) Definire se esistono numeri reali a , b , c tali che la funzione :
( ) (
x a 2)
x3 c(
cos3 x 1) (
b 1)
senx3f = − + − − +
risulti infinitesima di ordine 3 in x=0.
la funzione risulta infinitesima di ordine 3 se tra tutti i monomi quello di grado minimo è di terzo grado .
Per cui si ha che :
+
≠
⇒ =
≠
−
−
=
3 0 0
3 0
b a c b
a c
e posto per esempio :
≠
⇒ =
= 4
1 0
a
b c .
