Analisi Matematica 1 2 Luglio 2019 COMPITO 1 1. L’area della regione del piano complesso determinata dalle relazioni 8>>>>>>><>>>>>>>: (Rez)

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Analisi Matematica 1 2 Luglio 2019 COMPITO 1

1. L’area della regione del piano complesso determinata dalle relazioni 8>

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(Rez)² ³₂(z + ¯z) + 2 0

Im¹_z  0

Reh

z² iIm(iz)

i 3

vale

Risp.: A : 3 B : 6⇡ C : ³₂ D : ln 3

2. Il limite

n!+1lim

2(n + 2)ⁿ(n + 1)!⇣

1 cosp¹ n!

⌘

7nⁿ⁺¹ 2ⁿ⁺¹+ arctan((n + 1)!) vale

Risp.: A : e² B : ^e₇² C : ¹₇ D : ⁷_e

3. Sia ↵2 R. Il limite

xlim!0⁺

e^{x cos x x} 1 (2x sin(2x))^7↵

esiste finito se e solo se

Risp.: A : ↵ ¹₇ B : ↵ ¹₇ C : ↵ < ¹₇ D : ↵ >¹₇

4. Siano f, g :R ! R le funzioni date da

f (x) = x³ e g(x) = 2x + 1.

Il punto che soddisfa alla conclusione del teorema di Cauchy sull’intervallo [0, 1 + e] `e dato da Risp.: A : ^[1+e]₂ ² B : ^1+e₃ C : il teorema di Cauchy non `e applicabile D : ^1+ep

3

5. Sia ↵2 R. L’integrale improprio Z +1

1

p 1

x + 2 ln(x²+ 1)arctan(↵ 3)x + 1 x + e ^x dx converge se e solo se

Risp.: A : ↵6= 3 B : ↵ = 3 C : ↵ > 3 D : ↵ < 3

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6. Sia F :R ! R la primitiva della funzione

f (x) = e^2x 2 + 2e^x+ e^2x tale che F (0) = 2 arctan 2. Il limite lim_x_{! 1}F (x) vale

Risp.: A : ^{ln 2 ln 5}₂ ^⇡₄ + 2 B : ^{ln 2 ln 5}₂ ^⇡₄ C : ^⇡₄ + 2 D : e²

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy

(y⁰ xy = x +¹₂x³ y(0) = 2.

Allora ˜y(1) vale

Risp.: A : 2e¹² B : 2 C : 2e¹² ¹₂ D : 2⇡

8. Sia data la funzione f :R ! R definita da

f (x) =

(arctan_ln_{|x| 2}^x² se x6= 0 e x 6= ±e²

0 se x = 0 o x =±e²

Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) f ammette un punto di salto in x = e² di ampiezza ⇡ V F (b) f ammette asintoto obliquo a 1 V F

(c) x = 0 `e un punto angoloso per f V F (d) Su [0, e²[ la funzione f `e decrescente V F

(e) x = e⁵² `e un punto di minimo relativo V F

(f) L’equazione f (x) = ^⇡₃ ammette due soluzioni V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.