Analisi Matematica 1 16 Aprile 2019 COMPITO 1 1. Le radici terze del numero complesso 2

Analisi Matematica 1 16 Aprile 2019 COMPITO 1

1. Le radici terze del numero complesso

2 ^{|1 ip19|2}(2 + 2i)(1 i)⁴⁰ 4i³²+ 4i + e^3i⇡(2 + i)² sono date da

Risp.: A :{(2p

2)¹³e^i⇡/9, (2p

2)¹³e^i7⇡/9, (2p

2)¹³e^i13⇡/9} B : {e^i⇡/12, e^i3⇡/4, e^i17⇡/12} C : {(2p

2)¹³e^i⇡/12, (2p

2)¹³e^i3⇡/4, (2p

2)¹³e^i17⇡/12} D : {e^i⇡/9, e^i7⇡/9, e^i13⇡/9}

2. Il limite

n!+1lim

2 ⁸₇ ⁿcos(7n) + arctanh

(n+2)ⁿ (n+7)!+7ⁿ

i

n ln(n 2) n ln n vale

Risp.: A : ^⇡₄ B : ^⇡₂ C : non esiste D : ^⇡₄

3. Il limite

x!0lim⁺

(cos x + x tan x)¹⁷ 1 ln cosh x ln cos x vale

Risp.: A : 7 B : ₁₄¹ C : ₁₄¹ D : 7

4. Sia f :R ! R la funzione data da

f (x) =

((x + 3)e^{x2 9} se |x| < 3 4 arctan ^x₃ + ⇡ se |x| 3.

Allora

Risp.: A : x₁ = 3 `e un punto di salto e x<sub>2</sub> = 3 `e un punto di cuspide B : x₁ = 3 `e un punto di salto e x2= 3 `e un punto angoloso C : x1= 3 `e un punto di cuspide e x2= 3 `e un punto angoloso D : x₁= 3 e x2= 3 sono punti angolosi

5. Sia ↵2 R. La serie

X+1 n=1

p 1

n²+ n^3↵ n converge se e solo se

Risp.: A : ↵ < ²₃ B : ↵ > ¹₃ C : ↵ > ²₃ D : ↵ <¹₃

6. L’integrale Z 1

0

px 2 +p

xdx vale

Risp.: A : ln³₂ B : arctan 3 arctan 2 C : ln³₂ 3 D : 8 ln³₂ 3

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰+ 4y = 4 sin(2x) y(0) = 0

y⁰(0) = 3 Allora ˜y(⇡/4) vale

Risp.: A : 2⇡ B : 2 C : 2 D : 2⇡

8. Sia data la funzione

f (x) = 1 2

px² 4 + 4 arcsin2 x. Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =] 1, 2⇡] [ [2⇡, +1[ V F (b) y = ^x₂ `e asintoto obliquo a 1 V F

(c) f₊⁰ (2) = 1 V F

(d) f `e crescente su [4, +1[ V F

(e) L’equazione f (x) = 0 non ammette soluzione V F (f) f ([2, +1[) =⇥

2⇡, +1⇥

V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.