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Geometria per Informatica a.a. 2007 - 2008 Foglio 4
Esercizi sulla geometria non lineare
1. Sia data la circonferenza C avente il centro in C(2,0) e passante per P(1,-3).
a) Determinare l’equazione cartesiana di C.
b) Determinare in forma parametrica la retta tangente a C in P.
2. Determinare le equazioni cartesiane delle circonferenze tangenti alla retta x-y-1=0 nel punto P(2,1) e aventi raggio 3.
3. Siano dati i punti A(3,2), B(-1,0), C(0,1), D(-2,-3). Provare che per i quattro punti dati passa una circonferenza e determinarla.
4. Siano dati la circonferenza C: x2+y2+5x+5y=0(*) e i punti O(0,0), A(1,1).
a) Verificare che la retta r: x+y=0 è tangente a C in O(0,0).
b) Determinare una circonferenza C1, diversa da C, tangente ad r in O.
c) Determinare la circonferenza C2 , tangente ad r in O e passante per A.
5. Sia C:
⎩⎨
⎧
=
=
−
−
− + +
0
0 5 4 2
2 2 2
z
y x z y
x . Provare che C rappresenta una circonferenza e
determinarne centro e raggio.
6. Determinare l’equazione del piano tangente alla sfera S: x2+y2+z2-3x+y=0 nel suo punto P(1,1,0).
7. Determinare l’equazione cartesiana della sfera avente come circonferenza massima quella passante per A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0). (*)
8. Siano dati i punti V(1,0,1), A(0,2,0), B(3,1,2), C(-1,1,0).
a) Stabilire perché esiste una sfera S di centro V e passante per i tre punti A, B, C.
b) Determinare l’equazione cartesiana di S.
9. Siano dati la retta r:
⎩⎨
⎧
=
=
−
− 1
0 3 x
z
y e il pto P(2,0,1).
a) Determinare centro e raggio della circonferenza C descritta dalla rotazione di P attorno ad r.
b) Determinare le sfere di raggio R= 17, contenenti C .
(*) Segnalazione di M. (*) Segnalazione di A&S
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10. Sia data la linea L:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
=
−
=
=
1 2
2 2 2
t t z
t t y
t x
a) Provare che L è una linea piana e determinare il piano α che la contiene.
b) Provare che L non è una retta.
c) Determinare una linea M, distinta da L, la cui proiezione ortogonale su α coincida con L.
11. Siano dati la linea L:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0 2
2
z t y
t
x , la retta r:
⎩⎨
⎧
= + +
= +
−
0 1 2
0 z y
z y
x , il piano α:y+z=0 e il pto V(1,0,-1).
a) Determinare equazioni parametriche e cartesiane del cilindro F che ha L per direttrice e le cui generatrici sono parallele ad r.
b) Determinare equazioni parametriche e cartesiane del cono G di vertice V, che ha L per direttrice.
c) Determinare in forma parametrica la linea M, proiezione di L su α, lungo la direzione di r.
d) Determinare in forma parametrica la linea N, proiezione di L su α, dal pto V.
12. Determinare in forma cartesiana la superficie F descritta dalla rotazione della linea
L:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
2
0 t z y
t
x attorno alla retta r:
⎩⎨
⎧
=
= 0 0 y x .
13. Siano dati i punti A(0,2,0), B(0,2,3), C(0,0,2). Determinare in forma cartesiana la superficie descritta dalla rotazione della retta r passante per A e B attorno alla retta s passante per A e C e dire di che superficie si tratta.
14. Siano dati la linea L:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+
−
=
=
t z
t t y
t x
1
2 2
, la retta r:
⎩⎨
⎧
=
= 0 0 z
x e i piani α: x-y-z+1=0 e β:y=0.
a) Determinare in forma parametrica la linea proiezione ortogonale di L su β.
b) Stabilire se esistono pti a comune tra L ed r.
c) Determinare i punti comuni ad L e α.
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15. Sia data la superficie F:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
=
=
v u z
v u y
v x
2con u, v∈ R.
a) Provare che F è una superficie rigata.
b) F è un cono o un cilindro ?
c) Rappresentare F in forma cartesiana.
d) Provare che la linea L ottenuta ponendo u=2v nelle equazioni parametriche di F è una linea piana.
16. Sia data la superficie F:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
= +
= +
=
) 1 (
) 1 ( 2
2
v u z
v u y
uv v x
con u, v∈ R.
a) Provare che F è una superficie rigata.
b) Stabilire se P(6,8,0)∈ F.
c) Ci sono su F rette ortogonali al piano α: x-z-1 ?
17. Sia data la linea L:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
=
4 3 2
3 1
t z
t t y
t x
. Stabilire se L è piana.
18. Siano dati la linea L:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
= +
= t t z
t t y
t t x
3 2 3 2
e il piano β: X+Z=0(*)
a) Provare che L è piana e determinare l’ equazione cartesiana del piano α che la contiene.
b) Determinare in forma parametrica la linea N proiezione ortogonale di L su β.
c) Provare che N è una retta
d) Motivare c) stabilendo quale è la relazione tra α e β.
N.B. 9.b), 10.b), 10.c), 16.c), 18.d) sono esercizi di approfondimento.
(*) Segnalazione di A&S
