Esercizio 1. Sia a

(1)

Compitino di Matematica Discreta e Algebra Lineare 1 Aprile 2019

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . .

Esercizio 1. Sia a

₀

, a

₁

, a

₂

, . . . la successione definita da



 

  a

0

= 1 a

₁

= 3

a

n+1

= 5a

n

+ a

n−1

per n ≥ 1.

Dimostrare che:

(1) il numero 123456789 non appartiene alla successione;

(2) 5 - a

ⁿ

+ a

n−1

per ogni n ≥ 0

Esercizio 2. Si consideri il seguente sistema di congruenze:

( 2

^x

≡ 9 (mod 17) 5x ≡ a (mod 12) .

Si determino i valori del parametro intero a per cui il sistema ` e risolubile e si determini la soluzione per a = 3.

Esercizio 3. Consideriamo il sottospazio

V := Span







 1 2 3



 ,



 1 0 1







 di R

³

.

a) Decidere se uno dei vettori





−1 14 13



 ,





−1 14 10





`

e contenuto in V .

b) Dare un esempio di un’applicazione lineare R

³

→ R con nucleo uguale a V . Esercizio 4. Consideriamo l’applicazione φ : M

3×3

(R) → M

^3×3

(R) definita da





a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33



 7→





a

11

a

21

a

31

a

21

a

22

a

32

a

31

a

32

a

33



 .

a) Verificare che φ ` e lineare.

b) Calcolare le dimensioni di Ker(φ) e Im(φ).