Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

18

- Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali di ordine superiore al 1 °

Parte VI

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

1. y

− 6y

+ 11 y

− 6y = 0 [[

y = c1e^x+ c2e^2x+ c3e^3x]

2. y

⁽⁴⁾

− 10y

+ 9 y = 0 [[

y = c₁e^x+c₂e^−x+c₃e^3x+c₄e^−3x]

3. 4 y

− 4y

− 7y

− 2y = 0 [[

y = c₁e^−x/2+c₂xe^−x/2+c₃e^2x]

4. y

⁽⁴⁾

− 6y

+ 13 y

− 12y

+ 4 y = 0 [[

y = c₁e^x+c₂xe^x+c₃e^2x+c₄xe^2x]

5. y

− y = 0 [[

_{y = c1e}^x+c2e^−x/2cos

√3

2 x + c3e^−x/2sin

√3 2 x]

6. y

+ y = 0 [[

_{y = c1e}^−x+c2e^x/2cos

√3

2 x + c3e^x/2sin

√3 2 x]

7. 9 y

− 18y

+ y

− 2y = 0 [[

_{y = c1e}^2x+c2cosx

3 +c3sinx 3]

8. y

− 3y

+ 4 y

− 2y = 0 [[

y = c₁e^x+c₂e^xcosx + c₃e^xsinx]

9. 1296 y

⁽⁴⁾

+ 72 y

+ y = 0 [[

y = c₁cosx

6 +c₂x cosx

6 +c₃sinx

6 +c₄x sinx 6]

10. y

⁽⁷⁾

− y

⁽⁶⁾

+ 3 y

⁽⁵⁾

− 3y

⁽⁴⁾

+ 3 y

− 3y

+ y

− y = 0

[[

_{y = c1e}^x+c2cosx + c3x cos x + c4x²cosx + c5sinx + c6x sin x + c7x²sinx]

11. y

− 3y

+ 2 y = x

²

[[

y = c₁e^x+c₂e^2x+1 2x²+3

2x + 7 4]

12. y

− 3y

+ 3 y

− y = e

^2x

[[

y = c₁e^x+c₂xe^x+c₃x²e^x+e^2x]

13. 6 y

− 5y

+ y = x

²

+ 1 [[

y = c₁e^x/3+c₂e^x/2+x²+ 10x + 39]

14. y

− y = −2 cos x [[

_{y = c1e}^x+c2e^−x/2cos

√3

2 x + c3e^−x/2sin

√3

2 x + sin x + cos x]

15. y

− 8y = 2 sin 2x − cos 2x

[[

y = c₁e^2x+c₂e^−xcos√

3x + c₃e^−xsin√ 3x − 1

16sin 2x + 3

16cos 2x]

16. y

+ y = sin x [[

_{y = c1}cosx + c2sinx − 1

2x cos x]

17. y

− y = e

^x

sin x [[

_{y = c1e}^x+c2e^−x−1

5e^x(sinx + 2 cos x)]

18. y

+ y

= 8e

^4x

(sin 2x + 68 cos 2x) [[

y = c1+c2cosx + c3sinx + 10e^4x(3 sin 2x + 56 cos 2x)]

19. y

− 10y = −6xe

^2x

[[

y = c₁e^√10x+c₂e^−√10x+

x + 2 3

e^2x]

20. y

+ y

− y

− y = (x + 1)e

^−x

[[

y = c₁e^x+c₂e^−x+c₃xe^−x−x² 4

1 3x +3

2

e^−x]

21. y

− 2y = −2xe

^x

sin x [[

_{y = c1e}^√2x+c2e^−√2x+1 2e^x

(x − 1) sin x + (x + 1) cos x ]

VI Tipo - Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti Sia

a

₀

y

⁽ⁿ⁾

+ a

₁

y

⁽ⁿ⁻¹⁾

+ · · · + a

_n−1

y

+ a

_n

y = 0, (1) un’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n a coefficienti costanti. L’integrazione della (1) dipende dalla risoluzione dell’equazione algebrica di grado n, detta equazione caratteristica della (1),

a

₀

λ

ⁿ

+ a

₁

λ

ⁿ⁻¹

+ · · · + a

_n−1

λ + a

_n

= 0 . (2) Se la (2) ha le n radici distinte λ

₁

, λ

₂

, . . . , λ

_n

l’integrale generale della (1) ` e

y = c

1

e

^λ1x

+ c

2

e

^λ2x

+ . . . c

n

e

^λnx

.

Se la (2) ha fra le sue radici una radice ¯ λ di molteplicit`a r, allora, in corrispondenza di questa radice si hanno per la (1) gli r integrali particolari

e

^¯λx

, xe

^¯λx

, . . . , x

^r−1

e

^¯λx

.

Combinando linearmente questi integrali particolari con quelli corrispondenti alle altre radici della (2), si ottiene l’integrale generale della (1). Se l’equazione (1) ha i coefficienti reali, ` e possibile rappresentare il suo integrale generale in forma reale anche se l’equazione caratteristica possiede radici complesse. Precisamente, ad ogni coppia di radici complesse coniugate semplici a

_k

± ib

_k

della (2) corrisponde, all’integrale generale della (1), l’espressione reale

c

₁

e

^akx

cos b

_k

x + c

₂

e

^akx

sin b

_k

x,

mentre ad ogni coppia di radici complesse coniugate multiple di molteplicit` a r, a

_k

± ib

_k

, cor- risponde nell’integrale generale della (1) l’espressione reale

c

₁

e

^akx

cos b

_k

x + c

₂

xe

^akx

cos b

_k

x + · · · + c

_r

x

^r−1

e

^akx

cos b

_k

x+

+ ˜ c

₁

e

^akx

sin b

_k

x + ˜ c

₂

xe

^akx

sin b

_k

x + · · · + ˜ c

_r

x

^r−1

e

^akx

sin b

_k

x, essendo c

₁

, c

₂

, . . . , c

_r

, ˜ c

₁

, ˜ c

₂

, . . . , ˜ c

_r

costanti arbitrarie.

Considerando un’equazione differenziale lineare di ordine n non omogenea a coefficienti costanti a

₀

y

⁽ⁿ⁾

+ a

₁

y

⁽ⁿ⁻¹⁾

+ · · · + a

_n−1

y

+ a

_n

y = b(x), (3) e supponiamo che sia noto l’integrale generale dell’equazione omogenea associata

a

0

y

⁽ⁿ⁾

+ a

1

y

⁽ⁿ⁻¹⁾

+ · · · + a

n−1

y

+ a

n

y = 0. (4) L’integrale generale della (3) si ottiene applicando il metodo della variazione delle costanti arbi- trarie. Questo metodo conduce in generale a calcoli molto laboriosi. Conviene pertanto ricercare, nel modo che esporremo, un integrale particolare della (3). Trovato questo integrale particolare e aggiungendolo all’integrale generale della (4), si ottiene l’integrale generale della (3). La natura stessa della funzione b(x) suggerisce la forma che pu`o avere un integrale particolare della (3) [metodo della somiglianza]. Supporremo che i coefficienti a

_i

( i = 0, 1, 2, . . . , n) siano reali.

Se

b(x) = P (x)e

^αx

sin kx oppure

b(x) = P (x)e

^αx

cos kx oppure

b(x) = P (x)e

^αx

(sin kx + cos kx),

dove α e k sono costanti e P (x) `e un dato polinomio di grado m, nell’ipotesi che α + ik non sia radice dell’equazione caratteristica della (2), un integrale particolare ` e della forma

y = e

^αx

[ P

₁

( x) sin kx + P

₂

( x) cos kx],

dove P

₁

( x), P

₂

( x) sono polinomi di grado
m i cui coefficienti sono da determinare. Se, invece, α+ik `e radice di moltiplicit`a r dell’equazione caratteristica, un integrale particolare `e della forma

y = x

^r

e

^αx

[ P

₁

( x) sin kx + P

₂

( x) cos kx].

Per la determinazione delle costanti si uguagliano i coefficienti dei termini delle funzioni uguali, pervenendo cos`ı ad un sistema lineare che permette di determinare le costanti stesse. Ci` o ` e reso possibile dal fatto che le funzioni sin ωx, cos ωx, x

ⁿ

, e

^βx

sono linearmente indipendenti.

Da ultimo notiamo che se

b(x) = e

^αx

( P (x) sin kx + Q(x) cos kx),

dove α e k sono costanti e P (x) e Q(x) sono due polinomi assegnati, conviene procedere applicando il principio di sovrapposizione.

Metodo della variazione delle costanti arbitrarie

Consideriamo solo il caso di un’equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, quindi del tipo

a

₀

y

+ a

₁

y

+ a

₂

y = b(x). (5)

Se y

_O

( x) = c

₁

y

₁

( x) + c

₂

y

₂

( x) `e la soluzione generale dell’equazione omogenea associata, una soluzione particolare dell’equazione non omogenea (5) ` e data da

y

_p

( x) = A(x)y

₁

( x) + B(x)y

₂

( x)

dove A(x) e B(x) sono due funzioni che si determinano risolvendo il seguente sistema 2 × 2

 A

( x)y

1

( x) + B

( x)y

2

( x) = 0 A

( x)y

₁

( x) + B

( x)y

₂

( x) = b(x).

Principio di sovrapposizione

Se il secondo membro b(x) `e della forma b(x) = b

₁

( x) + b

₂

( x) + . . . b

_m

( x), allora una soluzione particolare dell’equazione non omogenea (5) si ottiene sommando le soluzioni particolari trovate per le m equazioni

a

₀

y

+ a

₁

y

+ a

₂

y = b

_i

( x), i = 1, . . . , m. (6) In altri termini, detta y

_i

( x) una soluzione particolare della (6), per i = 1, . . . , m, allora la funzione

y

_p

( x) = y

₁

( x) + y

₂

( x) + · · · + y

_m

( x)

` e una soluzione particolare della (5).