Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni diﬀerenziali:

(1)

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- Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali di ordine superiore al 1 °

Parte X

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni diﬀerenziali:

1. y

⁽⁴⁾

= x + sin x

[[y = x5!⁵ + c1x³

3! + c2x²

2! + c3x + sin x + c4]

2. y

+ y

²

= 0

[[y = (x + c)[log |x + c| − 1] + c1x + c2]

3. y

− sin y

= 0

[[y = c1x + c2]

I Tipo - Equazioni diﬀerenziali delle forme

a) y

⁽ⁿ⁾

= ϕ(x), b) F (y

⁽ⁿ⁻¹⁾

, y

⁽ⁿ⁾

) = 0 , c) F (y

⁽ⁿ⁾

) = 0 , dove n > 1.

a) Con una prima integrazione si ottiene

y

⁽ⁿ⁻¹⁾

=

ϕ(x) dx + c

1

.

Ripetendo l’operazione suddetta altre n − 1 volte, si perviene all’integrale generale.

b) Posto y

⁽ⁿ⁻¹⁾

= t(x), l’equazione diviene

F (t, t

) = 0 .

Se t = t(x, c) `e l’intergale generale di questa equazione, ricordando la posizione fatta, risulta y

⁽ⁿ⁻¹⁾

= t(x, c)

e questa ` e un’equazione diﬀerenziale della forma a).

c) Posto y

⁽ⁿ⁾

= z, si ottiene l’equazione numerica F (z) = 0. Detta z

1

una radice di quest’ultima equazione, si ha y

⁽ⁿ⁾

= z

₁

e pertanto

y = z

₁

x

ⁿ

n! + c

₁

x

ⁿ⁻¹

( n − 1)! + c

₂

x

ⁿ⁻²

( n − 2)! + · · · + c

_n−1

x + c

_n

,

dove c

1

, c

2

, . . . , c

n

sono n costanti arbitrarie. Quindi, in corrispondenza di ogni radice dell’equazione

F (z) = 0 si ottiene un integrale generale dell’equazione considerata.