Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

˜ - Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali del primo ordine

Parte VII

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

1. y
+ x ² y ² − 2x ² ( x + 1)y + x ⁴ + 2 x ³ + x ² − 1 = 0,

della quale si conosce l’integrale particolare p(x) = x + 1. [

y = x + 1 + 1 c + ^x ₃ ³

2. y
+ y ² cos x + y cos x − 3

4 cos x = 0,

della quale si conosce l’integrale particolare p(x) = 1/2.

[

y = 1

2 + e ^{−2 sin x} c − ^{e −2 sin x} ₂



VII Tipo - Equazioni di J. Riccati

E un’equazione della forma `

y
+ a(x)y ² + b(x)y + c(x) = 0, (1)

dove a(x), b(x), c(x) sono funzioni note di x, definite in uno stesso intervallo e ivi continue.

Se le funzioni a(x), b(x), c(x) sono qualunque, non si sa esprimere in termini finiti l’integrale generale della (1). Se della (1) ` e noto un integrale particolare p(x), allora l’integrale generale si trova con sole quadrature. Assumendo infatti come nuova funzione incognita la funzione z(x) legata alla y dalla relazione y = p(x) + z(x), l’equazione (1) si trasforma nell’equazione di Bernoulli (VI Tipo)

z
+ a(x)z ² + [2 a(x)p(x) + b(x)]z = 0.