Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

15 - Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali di ordine superiore al 1 °

Parte XII

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

1. y

= y ^−1/2 [

₁

12 (2c

+ 4y

)

− 1 2 c

(2c

+ 4y

)

= x + c

2. yy

+ y
² + 1 = 0 [[ (x + c

)

+ y

= c

]

III Tipo - Equazioni differenziali della forma

F (y, y
, y

, . . . , y ⁽ⁿ⁻¹⁾ , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 (n > 1), (1)

nelle quali non entra esplicitamente la variabile indipendente x..

Posto y
= t[y(x)], si ha

y

= dt dy

dy dx = dt

dy t,

y

= d dx

d ² y dx ² = d

dx

 dt dy t



= d

dy

 dt dy t

 dy dx =

 d ² t dy ² t +

 dt dy

 ₂  t,

. . . . Sostituendo nella (1) al posto di y
, y

, y


, . . . rispettivamente t(y), dt

dy t,

 d

t dy

t+

 dt dy





t, . . . la (1) si trasforma in un’equazione di ordine n−1 nella funzione incognita t e nella variabile indipendente y.

Per l’integrazione di un’equazione differenziale della forma

F (y, y

, . . . , y ⁽ⁿ⁻¹⁾ , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 (n > 2) si pu` o porre y

= t[y(x)].

Il procedimento indicato all’inizio si segue, in particolare, per l’integrazione delle equazioni

differenziali del 2 ° ordine delle forme: F (y, y
, y

) = 0, F (y, y

) = 0.