Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

12 - Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali del primo ordine

Parte IX

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

1. y = xy
² + y
³

[

x = 3p ² − 2p ³ + 2c

2(1 − p) ² , y = (3p ² − 2p ³ + 2c)p ² 2(1 − p) ² + p ³

2. y = −xy
+ y
− 1

y
, y

= 0.

[

Se p > 0, x = −1 + 3cp√p

3p ² , y = −2 + 3p − 3cp√p

3p ; se p < 0, x = −1 − 3cp √

−p

3p ² , y = −2 + 3p + 3cp √

−p 3p

IX Tipo - Equazione di D’Alembert-Lagrange E un’equazione della forma `

y = xf (y
) + g(y
), (1)

nella quale supporremo che le funzioni f (y
), g(y
) siano continue insieme alle derivate prime ed alla g

(y
) in un intervallo I.

Notiamo che se f (y
) = y
l’equazione si riduce all’equazione di Clairaut (VIII Tipo).

Posto y
= p, la (1) diviene

y = xf (p) + g(p) (2)

e quindi, differenziando,

dy = xf
(p) dp + f (p) dx + g
(p) dp, ossia, poich´ e dy = p dx,

[f (p) − p] dx + xf
(p) dp = −g
(p) dep e supponendo f (p) − p
= 0 si pu`o scrivere

dx

dp + x f
(p)

f (p) − p = − g
(p)

f (p) − p ( ¹ ). (3)

Quest’ultima ` e un’equazione lineare nella funzione incognita x (funzione di p)[Equazioni lineari, V Tipo].

Detto x = x(p, c) l’integrale generale della (3), sostituendo in (2) si ottiene y = y(p, c)f (p) + g(p).

L’integrale generale della (1) ` e, in forma parametrica (p parametro) x = x(p, c), y = y(p, c)f (p) + g(p).

Da queste, eliminando p, si perviene all’integrale generale in forma cartesiana.

1 Se f (p) = p la (3) non si potrebbe scrivere; d’altra parte, se f (p) = p, cio`e f (y
) = y
, la (1) si riduce

all’equazione di Clairaut (VIII Tipo).