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(1)

11 - Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali del primo ordine

Parte VIII

Integrare le seguenti equazioni differenziali:

1. y = xy  + y 2

[



Integrale generale: y = cx + c 2 ; integrale singolare: y = − x 4 2

2. y = xy  + y 2 + y 3 [



Integrale generale: y = cx + c 2 + c 3 ; integrale singolare: x = −2t − 3t 2 , y = −t 2 − 2t 3

3. y = xy  + 1

y  [



Integrale generale: y = cx + 1

c ; integrale singolare: y 2 = 4x

4. y 2 − 2xyy  + x 2 y 2 − 4y 4 = 0 [



Integrali generali: y = cx ± 2c 2 ; integrali singolari: y = ∓ x 8 2 rispett.

5. y = 2xy  + 2y 2 y 3

[



Integrale generale: y 2 = cx + c 4 3 ; integrale singolare: 27y 4 + 16x 3 = 0

VIII Tipo - Equazione di A. C. Clairaut E un’equazione della forma `

y = xy + g(y  ), (1)

nella quale supporremo che la funzione g(y  ) sia continua insieme alle derivate prima e seconda in un intervallo I. Posto y  = t(x), si ottiene

y = xt + g(t). (2)

Da questa, derivando i due membri rispetto ad x, si trae t = t + x dt

dx + g  (t) dt dx , ossia

dt

dx [x + g  (t)] = 0.

A quest’ultima equazione si soddisfa ponendo dt/dx = 0, oppure x + g  (t) = 0.

Se dt/dx = 0, si ha t = c, e quindi, per la (2),

y = cx + g(c). (3)

Questo ` e l’integrale generale della (1).

Se, invece, x = −g  (t), si ha, tenuto conto della (2),

x = −g  (t), y = −tg  (t) + g(t) (4)

con t variabile in I.

Le (4) costituiscono, in forma parametrica, un integrale della (1). L’integrale (4), non potendosi ottenere dalla (3) specializzando la costante c, ` e un integrale singolare della (1).

Eliminando t tra le (4), si ottiene l’integrale singolare in forma cartesiana.

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