Integrare le seguenti equazioni differenziali:

11 - Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali del primo ordine

Parte VIII

Integrare le seguenti equazioni differenziali:

1. y = xy
+ y
²

[

Integrale generale: y = cx + c ² ; integrale singolare: y = − x 4 ²

2. y = xy
+ y
² + y
³ [

Integrale generale: y = cx + c ² + c ³ ; integrale singolare: x = −2t − 3t ² , y = −t ² − 2t ³

3. y = xy
+ 1

y
[

Integrale generale: y = cx + 1

c ; integrale singolare: y ² = 4x

4. y ² − 2xyy
+ x ² y
² − 4y
⁴ = 0 [

Integrali generali: y = cx ± 2c ² ; integrali singolari: y = ∓ x 8 ² rispett.

5. y = 2xy
+ 2y ² y
³

[

Integrale generale: y ² = cx + c 4 ³ ; integrale singolare: 27y ⁴ + 16x ³ = 0

VIII Tipo - Equazione di A. C. Clairaut E un’equazione della forma `

y = xy + g(y
), (1)

nella quale supporremo che la funzione g(y
) sia continua insieme alle derivate prima e seconda in un intervallo I. Posto y
= t(x), si ottiene

y = xt + g(t). (2)

Da questa, derivando i due membri rispetto ad x, si trae t = t + x dt

dx + g
(t) dt dx , ossia

dt

dx [x + g
(t)] = 0.

A quest’ultima equazione si soddisfa ponendo dt/dx = 0, oppure x + g
(t) = 0.

Se dt/dx = 0, si ha t = c, e quindi, per la (2),

y = cx + g(c). (3)

Questo ` e l’integrale generale della (1).

Se, invece, x = −g
(t), si ha, tenuto conto della (2),

x = −g
(t), y = −tg
(t) + g(t) (4)

con t variabile in I.

Le (4) costituiscono, in forma parametrica, un integrale della (1). L’integrale (4), non potendosi ottenere dalla (3) specializzando la costante c, ` e un integrale singolare della (1).

Eliminando t tra le (4), si ottiene l’integrale singolare in forma cartesiana.