- Esercizi di riepilogo e di complemento
Equazioni differenziali del primo ordine
Parte IV
Integrare le seguenti equazioni differenziali:
1. (x − y + 1)dx + (x + y − 1)dy = 0 [ x
2+ ( y − 1)
2= ce
− arctg[(−x+y−1)/(x+y−1)]]
2. (3x − 2y + 1)dx + (2x + 5y + 7)dy = 0 [
3 x
2+ 5 y
2+ 6 x + 10y + 8 = ce
(−2/√15) arctg[√
5/3(−3x+2y−1)/(2x+5y+7)]
3. y =
x − y + 1 2x − 2y + 1
2
, 2x − 2y + 1 = 0.
[
y =
6
( x − y)
32( x − y) + 1
= ce
(−x+4y)/3
4. y = (x + y) 2 − (x + y) − 1 [
y = 1 − x + cxe
x1 − ce
x
IV Tipo - Equazioni della forma y = f
ax + by + c a 1 x + b 1 y + c 1
(1)
(a, b, c, a 1 , b 1 , c 1 costanti, a 1 x + b 1 y − c 1 = 0).
Per l’integrazione della (1) distinguiamo i due casi:
1 ◦ )
a b a 1 b 1
= 0 2 ◦ )
a b a 1 b 1
= 0
Nel caso 1 ◦ ),denotate con u e v due nuove variabili, poniamo ax + by + c = u, a 1 x + b 1 y + c 1 = v e da queste relazioni, poich´ e
a b
a
1b
1
= 0, si trae
x = Au + Bv + c, y = A 1 u + B 1 v + C 1 , (2) dove A, B, C, A 1 , B 1 , C 1 sono delle costanti.
Dalle (2), differenziando, si ricava
dx = A du + B dv, dy = A 1 du + B 1 dv e quindi l’equazione (1) diviene
A 1 du + B 1 dv A du + B dv = f
u v
. (3)
Assumendo, ad esempio, v come variabile indipendente, scriviamo la (3) come segue:
du
dv = − B 1 − Bf(u/v) A 1 − Af(u/v)
e questa ` e un’equazione omogenea (III Tipo) nella funzione incognita u.
Nel caso 2 ◦ ), avendosi ab 1 − a 1 b = 0, supponendo bb 1 = 0 ( 1 ), si ottiene a 1 /b 1 = a/b ossia a 1 = ka, b 1 = kb, e l’equazione (1) diviene
y = f
ax + by + c k(ax + by) + c 1
. (4)
Posto z(x) = ax + by, si ha z = a + by , y = (z − a)/b e quindi la (4) diviene z − a
b = f
z + c kz + c 1
e questa ` e un’equazione a variabili separabili (I Tipo).
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