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Academic year: 2021

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(1)

• - Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali del primo ordine

Parte IV

Integrare le seguenti equazioni differenziali:

1. (x − y + 1)dx + (x + y − 1)dy = 0 [ x

2

+ ( y − 1)

2

= ce

− arctg[(−x+y−1)/(x+y−1)]

]

2. (3x − 2y + 1)dx + (2x + 5y + 7)dy = 0 [



3 x

2

+ 5 y

2

+ 6 x + 10y + 8 = ce

(−2/15) arctg[

5/3(−3x+2y−1)/(2x+5y+7)]

3. y  =

 x − y + 1 2x − 2y + 1

 2

, 2x − 2y + 1 = 0.

[



y =

6











( x − y)

3

2( x − y) + 1









= ce

(−x+4y)/3



4. y  = (x + y) 2 − (x + y) − 1 [



y = 1 − x + cxe

x

1 − ce

x



IV Tipo - Equazioni della forma y  = f

 ax + by + c a 1 x + b 1 y + c 1



(1)

(a, b, c, a 1 , b 1 , c 1 costanti, a 1 x + b 1 y − c 1 = 0).

Per l’integrazione della (1) distinguiamo i due casi:

1 ) 

 a b a 1 b 1

  = 0 2 ) 

 a b a 1 b 1

  = 0

Nel caso 1 ),denotate con u e v due nuove variabili, poniamo ax + by + c = u, a 1 x + b 1 y + c 1 = v e da queste relazioni, poich´ e









a b

a

1

b

1









= 0, si trae

x = Au + Bv + c, y = A 1 u + B 1 v + C 1 , (2) dove A, B, C, A 1 , B 1 , C 1 sono delle costanti.

Dalle (2), differenziando, si ricava

dx = A du + B dv, dy = A 1 du + B 1 dv e quindi l’equazione (1) diviene

A 1 du + B 1 dv A du + B dv = f

 u v



. (3)

(2)

Assumendo, ad esempio, v come variabile indipendente, scriviamo la (3) come segue:

du

dv = B 1 − Bf(u/v) A 1 − Af(u/v)

e questa ` e un’equazione omogenea (III Tipo) nella funzione incognita u.

Nel caso 2 ), avendosi ab 1 − a 1 b = 0, supponendo bb 1 = 0 ( 1 ), si ottiene a 1 /b 1 = a/b ossia a 1 = ka, b 1 = kb, e l’equazione (1) diviene

y  = f

 ax + by + c k(ax + by) + c 1



. (4)

Posto z(x) = ax + by, si ha z  = a + by  , y  = (z  − a)/b e quindi la (4) diviene z  − a

b = f

 z + c kz + c 1



e questa ` e un’equazione a variabili separabili (I Tipo).

1

Se bb

1

= 0, allora la (1)o `e a variabili separabili, oppure `e trasformabile mediante la sostituzione z(x) =

ax + by, oppure z(x) = a

1

x + b

1

y, in un’equazione a variabili separabili nella funzione incognita z.

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