Geometria Differenziale Esercizi 6
1 Le coordinate x, y sono funzioni di u, v in modo che x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), 0) sia una carta regolare con immagine contenuta nel piano z = 0 . Verificare che
E F F G
=tJ J, dove J = xu xv
yu yv
.
Dedurre che l’area di una porzione x(U) del piano `e uguale a ZZ
U
| det J| dudv .
2 Un toro di rotazione `e parametrizzato da
x(u, v) = ((2 + cos v) cos u, (2 + cos v) sin u, sin v),
con dominio U = (−12π,32π)× (−12π,32π) . Verificare che il vettore xu × xv `e rivolto verso l’esterno. Determinare analiticamente le curvature principali {κ1, κ2} nei punti (i) (0, 3, 0) , (ii) (2, 0, 1) , (iii) (0, 2 + √12,√12) , (iv) (1, 0, 0) . Interpretare i risultati in termini di circonferenze sul toro.
3 Una superficie di rotazione `e parametrizzata da y(u, v) = (f (v) cos u, f (v) sin u, v) con f (v) > 0 . Determinare la seconda forma fondamentale, la curvatura Gaussiana K e la curvatura media H . Dedurre che
(i) se K ≡ 0 allora la superficie `e contenuta in un cilindro o in un cono circolare, (ii) se H ≡ 0 allora f(v) = a cosh(v
a + b) con a, b costanti, e quindi la superficie `e un catenoide. [Dimostrare prima che la funzione f′′(v)/f (v) `e costante.]
4 La terza forma fondamentale di una superficie `e definita dalla forma bilineare sim- metrica (Sx) · (Sy) , dove S `e l‘applicazione di Weingarten (lo ‘Shape operator’ con Sxu = −Uu e Sxv = −Uv) in un punto p fissato. Dimostrare che S2 + 2HS + KI = 0 (con I l’applicazione/matrice identit`a). Dedurre che la terza forma `e determinata dalla prima e dalla seconda forma fondamentale.
