Geometria Differenziale Esercizi 1
. . . saranno risolti marted`ı 3 marzo
1 Si consideri la cubica gobba
β (t) = (t, t2, t3), t∈ R.
(a) Calcolare il vettori tangenti β′(0), β′(1), β′(2) e verificare che sono linearmente in- dipendenti. Dedurre che la traccia di β non `e contenuta in un piano.
(b) `E vero che β′(t0), β′(t1), β′(t2) sono sempre linearmente indipendenti quando t0, t1, t2 sono distinti?
2 Sia α : I → R2 una curva piana con unit speed, quindi k α′(s)k = 1 per ogni s ∈ I . Verificare che α′′· α′ `e sempre zero, e dedurre che l’accelerazione di α soddisfa
α′′=
κ
2 Jα′, doveκ
2 `e la curvatura definita a lezione.3 La curva definita da
γ (t) = (etcos t, etsin t), t∈ R,
`e un esempio di uno spirale logaritmico.
(a) Verificare che γ′ = (1 + J) γ , dove 1 indica la trasformazione identit`a.
(b) Dedurre che γ′′ = 2 Jγ e che
κ
2 = 1k γ′k = 1
√2e−t. (c) Dedurre (o verificare direttamente) che
s7→ γ (log s) = s cos(log s), sin(log s) ha speed costante.