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Geometria Differenziale Esercizi 1

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Academic year: 2021

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Geometria Differenziale Esercizi 1

. . . saranno risolti marted`ı 3 marzo

1 Si consideri la cubica gobba

β (t) = (t, t2, t3), t∈ R.

(a) Calcolare il vettori tangenti β(0), β(1), β(2) e verificare che sono linearmente in- dipendenti. Dedurre che la traccia di β non `e contenuta in un piano.

(b) `E vero che β(t0), β(t1), β(t2) sono sempre linearmente indipendenti quando t0, t1, t2 sono distinti?

2 Sia α : I → R2 una curva piana con unit speed, quindi k α(s)k = 1 per ogni s ∈ I . Verificare che α′′· α `e sempre zero, e dedurre che l’accelerazione di α soddisfa

α′′=

κ

2 , dove

κ

2 `e la curvatura definita a lezione.

3 La curva definita da

γ (t) = (etcos t, etsin t), t∈ R,

`e un esempio di uno spirale logaritmico.

(a) Verificare che γ = (1 + J) γ , dove 1 indica la trasformazione identit`a.

(b) Dedurre che γ′′ = 2 Jγ e che

κ

2 = 1

k γk = 1

√2e−t. (c) Dedurre (o verificare direttamente) che

s7→ γ (log s) = s cos(log s), sin(log s) ha speed costante.

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