Universit`a dell’Aquila - Ingegneria
Prova Scritta di Fisica Generale II - 30/06/2014
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU Docente ... ... ... ... .... ...
Problema 1
Due sfere di raggio R disposte come in figura sono cariche uniformemente con densit`a di carica eguale ed opposta ρ. Determinare a)il dipolo elettrico equi-valente del sistema, b) l’intensit`a del campo elettrico nel punto di contatto (x=0); c) il campo elettrico nel centro della sfera di destra (x = R); d) la differenza di potenziale tra il centro della sfera di destra e l’infinito. (Dati del problema: R = 20 cm, ρ = 2 · 10−7 C/m3)
Problema 2
Il condensatore nel circuito in figura `e un condensatore cilindrico di raggio interno a1, raggio esterno a2 ed
al-tezza h ed `e riempito per met`a (ovvero fino alla distanza (a1+a2)/2) con materiale isolante di costante dielettrica
relativa 1 e per l’altra met`a con materiale isolante di
costante 2. Si calcoli: a) la capacit`a del condensatore;
b) il tempo te, a partire dalla chiusura dell’interruttore,
in cui il condensatore accumula una quantit`a di energia pari alla met`a del valore finale a regime; c) la potenza erogata dal generatore in tale istante.
(Dati del problema: a1 = 1 cm, a2 = 4 cm, h = 10 cm, ε1 = 2, 2 = 3, R1 = R2 = R3 = 1 kΩ,
f = 10 V .)
Problema 3
Una spira circolare di raggio a ´e immersa in un campo magnetico perpendicolare al piano (x, y) della spira che varia nel tempo e nello spazio secondo la relazione B(r) = Artkz, con r misurato dal centroˆ
della spira (0 ≤ r ≤ a). La spira ha una resistenza R ed induttanza L come in figura, che possono essere considerate in serie. Calcolare: a) il valore di k per il quale la forza elettromotrice ´e costante nel tempo; b) l’istante t1 successivo all’accensione del campo nel quale la tensione
su R eguaglia quella su L per il valore di k trovato;
c) l’energia dissipata sulla resistenza tra l’istante iniziale e t = τ , dove τ ´e la costante di tempo del circuito).
SOLUZIONI Problema 1
a)
La carica della sfera positiva vale: Q = ρ4
3πR
3 = 6.7 · 10−9
C
quindi essendo la distanza tra i due centri di carica: 2R, si ha che il momento di dipolo vale: |p| = 2RQ = 2.7 · 10−9 Cm
b)
Il campo elettrico al centro `e eguale alla somma dei campi generati dalle due distribuzioni: E = 2Q
4πεoR2
= 3 · 103 V /m c)
Il campo elettrico nella regione di spazio tra 0 e 2R ´e dato dalla sovrapposizione del campo generato da una carica puntiforme Q posta in −R:
Ex+ =
Q 4πεo
1 (x + R)2
e una sfera uniformemente carica con densit`a di carica: −ρ: Ex− = − ρ(x − R) 3εo = −Q(x − R) 4πεoR3 quindi: Ex = Ex++ Ex− = Q 4πεo " 1 (x + R)2 − x − R R3 # 0 ≤ x ≤ 2R Quindi per x = R: E = Q 16πεoR2 = 377 V /m d)
Il campo generato a distanza x > 2R non differisce da quello di due cariche puntiformi Q e −Q poste rispettivamente in x = −R e x = R per cui vale:
Ex = Q 4πεo " 1 (x + R)2 − 1 (x − R)2 # x ≥ 2R Quindi la differenza di potenziale tra 2R e l’∞ vale:
DV1 = − Z ∞ 2R Q 4πεo " 1 (x + R)2 − 1 (x − R)2 # dx = Q 4πεo 1 3R − 1 R = − Q 6πεoR
Mentre quella tra R e 2R: DV2 = − Q 4πεo Z 2R R " 1 (x + R)2 − x − R R3 # dx = − Q 4πεo " − 1 x + R − x2 2R3 − x R2 #2R R = = − Q 4πεoR −1 3 + 1 2 − 2 + 1 2− 2 + 1 = − 7Q 12πεo In totale: DV = DV1+ DV2 = − 3Q 4πεo = −904 V Problema 2
a) Il condensatore `e equivalente a due condensatori con capacit`a C1 = 2πεoε1h loga1+a2 2a1 e C2 = 2πεoε2h log 2a2 a1+a2
posti in serie. La capacit`a risultante `e pertanto C = 1/(1/C1+ 1/C2) = 9 pF .
b) Nel circuito equivalente di Thevenin per la carica del condensatore la resistenza `e data dal parallelo di R1 ed R3, in serie con R2. Indicando con R il valore comune delle tre resistenze,
si ha Rth= R2+ R1R3 R1+ R3 = 3 2R
Il f.e.m. di Thevenin `e pari alla caduta di tensione su R3 quando il condensatore `e scollegato,
pertanto fth= R3 R1+ R3 f = f 2.
Il condensatore si carica con legge vC(t) = fth(1 − e−t/τ), e l’energia accumulata vale
EC(t) = C 2v 2 C(t) = Cf2 th 2 (1 − e −t/τ)2.
L’energia a regime `e EC,f = Cfth2/2, pertanto il tempo tesi trova risolvendo (1−e−t/τ)2 = 1/2,
da cui te = −τ log(1 − 1/
√
2) = 16.6 ns.
c) Nell’istante te sul generatore scorre la corrente if(te) = i2(te) + i3(te), dove
i2 = C dvC dt = Cfth τ e −t/τ e i3(t) = v3(t) R3 = vC(t) + R2i2(t) R3 .
Problema 3
Il flusso concatenato dalla spira circolare pu`o essere calcolato come segue: ΦB = Z a 0 B(r)2πrdr = Z a 0 A r2πrdr = 2πAat k
a) La forza elettromotrice indotta nella spira ´e quindi pari a: V = −dΦB
dt = 2πAakt
k−1
Affinch´e la forza elettromotrice V sia indipendente dal tempo deve essere k = 1 V = 2πAa = 0.126 V
b) Nella condizione k = 1, V ´e costante e quindi l’equazione del circuito per la spira pu`o essere scritta nel seguente modo:
V − LdI dt = RI che pu`o essere integrata semplicemente:
Z I(t) 0 dI I − V /R = − Z t 0 R Ldt 0 per ottenere: I(t) = V R(1 − e −R Lt)
L’istante t = t1 ´e tale che:
LdI dt = RI per cui LV R R Le −t1/τ = RV R(1 − e −t1/τ) definendo con τ = L
R = 2.5 ms la costante di tempo del circuito. 2e−t1/τ = 1
da cui: t1 = −τ ln2 = 1.7 ms
c) L’energia dissipata dalla resistenza ´e data da:
E = Z τ 0 V I(t)dt = RV 2 R2 Z τ 0 I2(t)dt = V 2 R Z τ 0 (1 − e−t/τ)2dt = V 2τ R 1 + 2e−1− 1 2e −2 E = V2τ R0.17 = 16 µJ
