Modellazione termoidrodinamica di cuscinetti a pattini oscillanti per turbomacchine

Universitá di Pisa

Scuola di Ingegneria

Tesi di laurea magistrale in Ingegneria

Meccanica

Modellazione termoidrodinamica di

cuscinetti a pattini oscillanti per

turbomacchine

relatori candidato

Prof. Ing. Enrico Ciulli Marco Del Chiaro DICI

Prof.ssa Ing. Paola Forte DICI

Ing. Lorenzo Naldi GE Oil&Gas

Ad Elisabetta. Ai miei genitori. Alla mia famiglia.

Prefazione

Negli ambienti industriali le turbomacchine sono oramai onnipresenti. Il progresso ha portato a regimi di funzionamento sempre piú spinti, carat-terizzati da velocitá di rotazione sempre piú elevate e clearance sempre piú pic-cole. Negli ultimi anni i cuscinetti a geometria variabile, in particolare quelli a pattini oscillanti, si sono aermati diventando di fatto i supporti standard per la maggior parte delle applicazioni ad elevata velocitá.

La diusione dei cuscinetti a pattini oscillanti é dovuta alle loro intrinseche caratteristiche di stabilitá. La libera rotazione dei pattini permette di avere un meato fortemente convergente per ogni pattino sotto carico e rende trascur-abili le azioni desttrascur-abilizzanti, eliminando nella maggior parte delle applicazioni l'insorgenza dei fenomeni di oil-whirl and oil-whip.

Non potendo ignorare il contributo dei supporti sulle performance rotordi-namiche, sulla vita e sulla adabilitá delle macchine é necessario disporre delle caratteristiche statiche, quali capacitá di carico, spessore minimo del meato e coppia d'attrito, e delle proprietá dinamiche solitamente descritte in termini di coecienti linearizzati di rigidezza e smorzamento.

Tali caratteristiche sono inuenzate da un elevato numero di fattori e at-tualmente i costruttori utilizzano codici ad-hoc per la loro determinazione e previsione.

L'ambizione é quella di arrivare ad un modello che, tenendo conto delle deformazioni termiche e meccaniche del pattino, permetta di analizzare le caratteristiche del cuscinetto in funzione delle tante variabili in gioco tra le quali: velocitá di rotazione, tipo di lubricante, geometria del pattino, pre-carico e tipo di alimentazione. Un modello dotato di tali capacitá, vericate sulla base di dati sperimentali, sarebbe di aiuto nel progetto di pattini inno-vativi, riducendo le prove sperimentali ai design che sulla carta manifestano le migliori performance.

Indice

1 Introduzione 1

1.1 La lubricazione idrodinamica . . . 1

1.2 La coppia rotoidale . . . 3

1.2.1 L'equazione di Reynolds . . . 3

1.2.2 La dinamica della coppia rotoidale . . . 4

1.2.3 La stabilitá della coppia rotoidale . . . 6

1.3 Cuscinetti radiali ad incrementata stabilitá . . . 8

1.3.1 Cuscinetti con scanalature assiali . . . 8

1.3.2 Cuscinetti radiali non circolari . . . 8

1.3.3 Cuscinetti a pattini oscillanti . . . 9

2 Stato dell'arte 13 2.1 Schematizzazione dei TPJBs . . . 13

2.2 Analisi tradizionale dei TPJBs . . . 13

2.2.1 Equilibrio del pattino . . . 13

2.2.2 Eetti termici . . . 15

2.2.3 Coecienti dinamici . . . 17

2.3 Eetto dei parametri geometrici sulle prestazioni . . . 21

2.3.1 Eetto della congurazione di carico . . . 21

2.3.2 Eetto dell'oset . . . 21

2.3.3 Eetto del precarico . . . 22

2.3.4 Eetto del rapporto L/D . . . 22

2.4 Codici di calcolo . . . 24

3 Analisi e modelli sviluppati 27 3.1 Descrizione del problema . . . 27

3.2 Assembly Method . . . 28

3.2.1 Mappatura del pattino . . . 29

3.2.2 Geometria della congurazione di carico . . . 30

3.2.3 Interpolazione dei dati . . . 32

3.2.4 Assemblaggio . . . 36

3.2.5 Calcolo delle rigidezze . . . 37

3.3 Caso esaminato . . . 38

3.4 Modelli sviluppati . . . 40

3.4.1 Modello HD . . . 41

3.4.2 Modello ISOTHD . . . 42 vii

3.4.3 Modello THD . . . 43

4 Analisi CFD 47 4.1 Confronto tra i pacchetti Ansys . . . 47

4.1.1 Flotran . . . 47

4.1.2 Fluent . . . 47

4.1.3 CFx . . . 49

4.1.4 Pattino piano a pendenza ssa 2D . . . 49

4.2 Modello TPJBs in Ansys Fluent . . . 52

4.3 Modello TPJBs in Ansys CFx . . . 53

4.3.1 Equazioni . . . 53

4.3.2 Proprietá del uido . . . 53

4.3.3 Condizioni al contorno . . . 53

4.3.4 Risultati della singola analisi . . . 54

4.3.5 Criteri di convergenza . . . 55

4.4 Struttura della utility TPJBs . . . 56

5 Risultati 59 5.1 Modello Idrodinamico HD . . . 59

5.2 Modello Isotermo Idrodinamico ISOTHD . . . 60

5.3 Modello Termoidrodinamico THD . . . 61

5.3.1 THD COLD . . . 61

5.3.2 THD HOT . . . 62

5.3.3 Sensibilitá alla condizione al contorno termica sull'albero 62 5.4 Contronto tra i modelli . . . 63

6 Conclusioni e sviluppi futuri 65 Bibliograa 66 A Riduzione della dinamica 69 B Script Matlab per elaborazione dati 71 B.1 Interpolazione . . . 71

B.2 Caratteristiche HD . . . 75

B.3 Caratteristiche THD COLD . . . 77

Elenco delle gure

1.1 Tower's experience . . . 1

1.2 Curva di Stribeck e regimi di lubricazione . . . 2

1.3 Coppia rotoidale . . . 3

1.4 Coecienti rotordinamici per cuscinetto liscio con L/D=1 . . . 5

1.5 Graco di stabilitá per cuscinetto radiale liscio con L/D=1 . . . 7

1.6 Cuscinetti radiali con 3 e 4 scanalature assiali . . . 8

1.7 Decremento logaritmico in funzione del numero di scanalature . 8 1.8 Cuscinetti ellittici e a lobi . . . 9

1.9 Decremento logaritmico in funzione del coeciente di precarico . 9 1.10 Cuscinetto radiale a pattini oscillanti . . . 10

1.11 Alcune tipologie di TPJBs . . . 10

1.12 Cuscinetto radiale con exure pivot . . . 11

2.1 Parametrizzazione TPJBs . . . 14

2.2 Procedura iterativa per la determinazione dell'equilibrio del perno 16 2.3 Approccio semplicato per gli eetti termici . . . 16

2.4 Schema di corpo libero interazione con pivot rigido . . . 18

2.5 Forze dinamiche nel lm di uido . . . 20

2.6 Congurazioni di carico . . . 21

2.7 Eetto della congurazione del carico e dell'oset . . . 22

2.8 Eetto del precarico: caso 1 . . . 23

2.9 Eetto del precarico: caso 2 . . . 23

2.10 Eetto del rapporto L/D . . . 24

2.11 Esempio struttura di un codice di calcolo TEHD . . . 25

3.1 Geometria del meato . . . 28

3.2 Ricerca dell'equilibrio in funzione di e per un supporto a 5 pattini 29 3.3 Analisi del singolo pattino in congurazione LOP . . . 30

3.4 Algoritmo per la ricerca dell'equilibrio del pattino . . . 31

3.5 Calcolo di r1 ed r2 per una generica posizione del rotore . . . 32

3.6 Calcolo di r3 ed r4 per una generica posizione del rotore . . . 33

3.7 Calcolo di r5 per posizione generica del perno . . . 34

3.8 Confronto tra Spline e LMS . . . 35

3.9 Confronto tra Spline e LMS . . . 36

3.10 Confronto tra Hermite e LMS e Smoothing Spline . . . 36

3.11 Posizione di equilibrio del perno in funzione di  . . . 37

3.12 Perturbazioni della posizione di equilibrio per il calcolo delle rigidezze . . . 38

3.13 Supporto analizzato . . . 39

3.14 Andamenti delle proprietá dell'olio rispetto alla temperatura . . 40

3.15 Dominio del modello HD . . . 41

3.16 Dominio del modello THD . . . 43

3.17 Rimescolamento nel pozzetto . . . 44

4.1 Algoritmi di calcolo in Fluent e CFx . . . 48

4.2 Discretizzazione in CFx . . . 49

4.3 Slitta piana inclinata . . . 50

4.4 Soluzione del pattino piano . . . 51

4.5 Depressione al Leading Edge . . . 52

4.6 Pressione per  = 0.5 THD COLD . . . 54

4.7 Sensibilitá alla mesh e al TSC . . . 55

4.8 Residuals and Imbalances . . . 56

4.9 Programma di calcolo per TPJBs . . . 56

5.1 Linee di usso per HD  = 0.5 . . . 59

5.2 Andamento della pressione HD per  = 0.5 . . . 60

5.3 γR1 in funzione di 1 e Coppia d'attrito in funzione di  . . . 60

5.4 Capacitá di carico per i modelli HD e ISOTHD . . . 61

5.5 Andamento di viscositá e temperatura nel dominio . . . 61

5.6 Tout e γR1 in funzione di 1 . . . 62

5.7 Capacitá di carico e coppia d'attrito in funzione di  . . . 62

5.8 Contour Plot temperatura di uscita su piano di simmetria . . . 63

5.9 Capacitá di carico per i vari modelli in funzione dell'eccentricitá. 64 5.10 Posizione di equilibrio dell'albero per diverse eccentricitá. . . 64

Elenco delle tabelle

2.1 Parametri fondamentali . . . 14

2.2 Simboli relativi alla dinamica dei TPJBs . . . 19

3.1 Caratteristiche del supporto analizzato . . . 38

3.2 Caratteristiche del lubricante . . . 39

4.1 Confronto su slitta piana a inclinazione ssa . . . 51

5.1 Confronto condizione termica del rotore . . . 63

Capitolo 1

Introduzione

In questo capitolo sará riportata brevemente l'evoluzione della lubricazio-ne idrodinamica, evidenziando i passi storici fondamentali, le ipotesi principali e un breve cenno alla schematizzazione della coppia rotoidale classica.

Successivamente saranno presentate le problematiche relative all'instabilitá della coppia rotoidale che hanno dato l'impulso alla progettazione di nuovi tipi di supporti.

Per concludere sará mostrata l'evoluzione dei cuscinetti radiali per alte velocitá, dalla coppia rotoidale ai cuscinetti a pattini oscillanti, evidenziando le peculiaritá delle soluzioni presentate.

1.1 La lubricazione idrodinamica

Nel 1883 l'Ingegner Beauchamp Tower mostró per la prima volta la ca-pacitá portante dei cuscinetti idrodinamici. Durante una campagna di prove sperimentali volte ad indagare le perdite per attrito al variare della velocitá nei cuscinetti ferroviari, Tower assistette all'espulsione del tappo posto sul foro di alimentazione dell'olio. Una modica del banco di prova e l'aggiunta di un ma-nometro gli permise di dimostrare la pressurizzazione del lm di lubricante.

(a) Tower's Test Rig [13] (b) Pressure distribution [14]

Figura 1.1: Tower's experience 1

2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Integrando la distribuzione di pressione ottenuta, Tower ottenne una forza idrodinamica di 7988 lbf contro un carico applicato di 8008 lbf.

Nel 1886 Osborne Reynolds fu in grado di dare una giusticazione teorica della capacitá di carico del cuscinetto di Tower. Combinando insieme l'equa-zione di continuitá e l'equal'equa-zione di Naver-Stokes semplicata, derivó quella che sarebbe passata alla storia come l'equazione di Reynolds.

Quest'ultima evidenzia come la lubricazione idrodinamica, ovvero la na-scita di un campo di pressione nel lm per eetto del moto delle superci, richieda che lo spessore del lm non sia costante.

Anché vi sia lubricazione idrodinamica, anche detta a lm spesso o completa, é necessario che l'altezza del meato sia maggiore della rugositá delle superci che lo delimitano. La formazione di un meato sucientemente spesso é condizionata dal carico esterno, dalla velocitá e dalla viscositá del lubricante. I tre fattori sono solitamente raccolti in un gruppo adimensionale, chiamato numero di Sommerfeld, indicato con So.

So = µU P1

Dove con µ si indica la viscositá del uido, con U la velocitá e con P1 il carico

per unitá di lunghezza.

Le curve di Stribeck mostrano l'andamento del coeciente d'attrito in fun-zione del numero di Sommerfeld, evidenziando il passaggio dal regime di lubri-cazione limite a quello di lubrilubri-cazione mista e inne al regime di lubrilubri-cazione idrodinamica. So c) Lubrificazione idrodinamica b) Lubrificazione mista a) Lubrificazione limite fa (a) (b) (c)

1.2. LA COPPIA ROTOIDALE 3

1.2 La coppia rotoidale

1.2.1 L'equazione di Reynolds

(a) Schema della coppia

Y X ϕo O1 O2 e Ω e0 cδ ϑ ϕ β0 ϕW x y W0 (b) Perturbazione dall'equilibiro

Figura 1.3: Coppia rotoidale [1]

Si consideri la coppia rotoidale mostrata in Figura 1.3(a), nella quale la posizione del perno, il cui diametro D é pari a 2r1, é descritta dal vettore ~e di

modulo C e argomento φ0. L'equazione di Reynolds per lo studio della coppia

in esame puó essere espressa sotto la forma seguente: 4 D2 ∂ ∂φ  h3 12µ ∂p ∂φ  + ∂ ∂z  h3 12µ ∂p ∂z  = Ω1+ Ω2 2 ∂h ∂φ+ ∂h ∂t (1.1) L'equazione si ottiene combinando l'equazione di Navier Stokes e l'equazione di continuitá ammettendo la validitá delle ipotesi seguenti:

ˆ usso laminare; ˆ uido newtoniano;

ˆ approssimazione di Stokes (χ = 0); ˆ meato sottile e continuo

ˆ variazioni di viscositá trascurabili; ˆ variazioni di densitá trascurabili; ˆ uido aderente alle pareti;

ˆ uido incompressibile.

L'equazione di Reynolds puó essere espressa in una forma particolarmente interessante tenendo conto che:

4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ∂h

∂φ = −csin(φ − φ0) ∂h

∂t = ˙eXcos(φ) + ˙eYsin(φ) = c ˙cos(φ − φ0) − ˙φ0 ∂h ∂φ

Sostituendo la derivata dello spessore rispetto al tempo nell'equazione di Reynolds e raccogliendo si ottiene:

4 D2 ∂ ∂φ  h3 12µ ∂p ∂φ  + ∂ ∂z  h3 12µ ∂p ∂z  = Ω1+ Ω2 2 − ˙φ0  ∂h ∂φ + c ˙cos(φ − φ0) (1.2) Nella forma appena riportata appare evidente che la velocitá ˙φ0 con cui

il perno percorre l'orbita riduce la capacitá portante del cuscinetto no ad annullarla nel caso in cui essa assuma il valore critico:

˙ φ0 =

Ω1+ Ω2

2 (1.3)

1.2.2 La dinamica della coppia rotoidale

Si consideri il caso di un rotore rigido bilanciato, rotante con velocitá an-golare Ω in una boccola ssa e si scrivano le equazioni del moto per studiare l'orbita descritta dal perno.

~

W + ~Fin+ ~Fh = ~0 (1.4)

Dove:

ˆ ~W é il carico esterno;

ˆ ~Fin é la forza d'inerzia pari a −m¨~e, con m massa del rotore;

ˆ ~Fh é la forza idrodinamica.

Risolvendo numericamente l'equazione di Reynolds con le condizioni al con-torno classiche, si ottiene la distribuzione di pressione nel meato e, integrando, le componenti lungo X ed Y della forza idrodinamica.

A causa della non linearitá dell'equazione (1.4) sarebbe necessario risol-vere l'equazione di Reynolds iterativamente. Questo puó essere evitato se si concentra l'analisi sul comportamento del cuscinetto nell'intorno di una con-gurazione di equilibrio. Si faccia riferimento alla concon-gurazione di equilibrio rappresentata in Figura 1.3(b) e caratterizzata da un eccentricitá pari a e0,

da un angolo di assetto pari a β0 e da un carico esterno pari a W0 inclinato

rispetto all'asse X di un angolo φW. In questo caso é possiibile approssimare

la forza idrodinamica con una funzione lineare della posizione e della velocitá del perno.

Prendendo un sistema di riferimento x-y con x parallelo al carico W0 ,

nell'ipotesi che gli spostamenti C~δ dalla condizione di equilibrio siano piccoli, si puó scrivere: Fhx ≈ Fhx     0 +∂Fhx ∂ex     0 cδx+ ∂Fhx ∂ey     0 cδy+ ∂Fhx ∂ ˙ex     0 c ˙δx+ ∂Fhx ∂ ˙ey     0 c ˙δy (1.5)

1.2. LA COPPIA ROTOIDALE 5 Fhy ≈ Fhy     0 +∂Fhy ∂ex     0 cδx+ ∂Fhy ∂ey     0 cδy+ ∂Fhy ∂ ˙ex     0 c ˙δx+ ∂Fhy ∂ ˙ey     0 c ˙δy (1.6)

La forza idrodinamica Fh puó quindi essere sostituita con la sua

approssima-zione lineare: ~ Fh ≈= −W0− W0K~δ − W0 Ω c ˙ ~ δ (1.7)

dove K e C rappresentano le matrici dei coecienti rotordinamici rispettiva-mente di rigidezza e smorzamento:

K = − c W0     ∂Fhx ∂ex    ₀ ∂Fhx ∂ey    ₀ ∂Fhy ∂ex     0 ∂Fhy ∂ey     0     ; C = −cΩ W0     ∂Fhx ∂ ˙ex    ₀ ∂Fhx ∂ ˙ey    ₀ ∂Fhy ∂ ˙ex     0 ∂Fhy ∂ ˙ey     0     (1.8) Per passare dal sistema riferimento x-y al sistema X-Y é suciente ruotare di φW, ricordando che le matrici K e C si trasformano secondo le regole dei

tensori.

Il calcolo dei coecienti rotordinamici puó essere fatto risolvendo l'equa-zione di Reynolds nell'intorno dell'equilibrio e sostituendo alle derivate parziali i rapporti incrementali: Kij ≈= − c W0 Fhi(ei+ ∆i) − Fhi(ei− ∆i) 2∆i (1.9)

In Figura 1.4 sono riportati gli andamenti tipici dei coecienti in funzione del numero di Sommefeld So, che per una coppia rotoidale é denito nel modo seguente: So = µΩLD 2πW0  D 2c 2 0.1 0.01 0.1 1 1 10 Kxx Kxy _-Kyx Kyy Kyx 0.9 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.1 0.01 0.1 1 1 10 Cxx So e/ 0.9 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 Cyy Cyx=Cxy e/c So c

Figura 1.4: Coecienti rotordinamici per cuscinetto liscio con L/D=1 [1] La matrice di rigidezza K ha un elemento negativo per carichi medio bas-si e tende a diventare antibas-simmetrica per alti carichi, mentre la matrice di smorzamento é simmetrica. La presenza di un termine negativo evidenzia il comportamento instabile dei cuscinetti radiali lisci per carichi bassi.

6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

1.2.3 La stabilitá della coppia rotoidale

L'inuenza di cuscinetti idrodinamici radiali sulle vibrazioni del rotore é stata identicata da Newkirk intorno agli anni 1924-1925. Newkirk registró che, quando la velocitá di rotazione del perno era prossima al doppio della pri-ma frequenza essionale, il perno iniziava a vibrare e tale vibrazione persisteva all'aumentare della velocitá di rotazione. Tale fenomeno, legato alla presenza del lubricante, venne nominato oil whip.

Nel 1947, Hagg dimostró che, in assenza di carico, uno spostamento del rotore dalla posizione di equilibrio dava origine, per eetto dell'equazione di continuitá, ad un moto circolare con frequenza pari a metá della velocitá di rotazione dell'albero, da cui il nome half-speed whirl.

In caso di presenza del carico si puó far riferimento al caso di un perno bilanciato, rotante a velocitá angolare Ω in una boccola a raggio costante, soggetto ad un carico di modulo W , rotante a velocitá angolare ΩW. In

ta-li condizioni il rotore percorrerá un'orbita circolare di raggio e con velocitá angolare ΩW pertanto l'equazione di Reynolds (1.2) assumerá la forma:

4 D2 ∂ ∂φ  h3 12µ ∂p ∂φ  + ∂ ∂z  h3 12µ ∂p ∂z  = Ω 2 − ΩW  ∂h ∂φ (1.10) Dall'equazione (1.10) risulta evidente che all'aumentare di ΩW la capacitá di

carico si riduce no ad annullarsi quando la velocitá del carico é pari alla metá di quella del rotore. Al di sopra del valore critico la capacitá di carico torna a crescere e conseguentemente si riduce il raggio dell'orbita.

La frontiera tra comportamento instabile e comportamento stabile é rap-presentata da un orbita ellittica attorno alla posizione di equilibrio, percorsa alla velocitá di rotazione ω e rappresentabile nella forma:

~_{δ = ~∆e}iωt _(1.11)

Sostituendo l'espressione (1.11) nell'equazione linearizzata di equilibrio, otte-nuta combinando e rielaborando le equazioni (1.4) e (1.6) si ottiene:

 K −ω Ω 2 M + iω Ω  C  ~

∆eiωt= 0 → A~∆eiωt = 0 (1.12) Dove si é posto: M = "_CΩ2_m W0 0 0 CΩ_W2m 0 # A =  K −ω Ω 2 M + iω Ω  C 

L'equazione é soddisfatta per ogni t qualora il determinante della matrice A sia nullo. Imponendo tale condizione, si ottiene un valore critico di M, massa adimensionalizzata del rotore, che puó essere gracata in funzione del numero di Sommerfeld.

1.2. LA COPPIA ROTOIDALE 7 La Figura 1.5 evidenzia come per carichi elevati la stabilitá sia indipendente dalla massa del rotore mentre per carichi bassi si ha un valore critico di M che diventa costante.

L'andamento divide il piano in due regioni permettendo di stabilire se una condizione di funzionamento cade nel regime stabile o instabile. Il valore critico della massa adimensionalizzata Mcr permette inne di calcolare la velocitá di

rotazione critica Ωcr, che rappresenta il valore da non superare per rimanere

in campo stabile. 0.01 0.1 1 0.1 1 10 Instabilità Stabilità So Mcr ωcr/Ω

8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

1.3 Cuscinetti radiali ad incrementata stabilitá

L'instabilitá dei supporti radiali idrodinamici é fortemente legata alla geo-metria circolare e alla rotazione del lubricante. Per migliorare le prestazioni dei supporti radiali sono state eettuate diverse modiche alla geometria che hanno portato a nuove tipologie di cuscinetti.

1.3.1 Cuscinetti con scanalature assiali

ϕ Y X ϕo O1 O2 Cε r2 r1 Ω ϕ Y X ϕo O1 O2 r2 r1 Ω

Figura 1.6: Cuscinetti radiali con 3 e 4 scanalature assiali

L'aggiunta di scanalature assiali riduce la rotazione del lubricante e sposta la soglia di stabilitá piú in alto. Il numero ottimale di scanalature assiali é un compromesso tra l'incremento di stabilitá e alcuni eetti negativi, quali ridu-zione della capacitá portante e aumento della temperatura del lubricante. Il miglioramento della stabilitá in funzione del numero di scanalature é riportato in gura 1.7 in termini di decremento logaritmico.

0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 Log Dec 3

4 N° groove

Figura 1.7: Decremento logaritmico in funzione del numero di scanalature [15]

1.3.2 Cuscinetti radiali non circolari

Miglioramenti piú sostanziali della stabilitá possono essere raggiunti pas-sando a supporti non circolari. Appartengono a questa categoria i cuscinetti ellittici, o a limone, e i cuscinetti a n lobi, rappresentati in gura 1.8.

1.3. CUSCINETTI RADIALI AD INCREMENTATA STABILITÁ 9 Y X r1 r2 Ω

Cuscinetto radiale ellittico

X

Cuscinetto radiale a 3 lobi

Y

r1

r2 Ω

Figura 1.8: Cuscinetti ellittici e a lobi

La geometria é caratterizzata da lobi di raggio RLil cui centro di curvatura

é situato su una circonferenza di raggio aL centrata nel centro del cuscinetto.

Si denisce un coeciente di precarico mL come:

mL=

aL

RB− RL

Se mL é nullo, aL é nullo e il supporto altro non é che un cuscinetto con

scanalature assiali. Valori tipici del coeciente di precarico sono situati nel range da 0.25 a 0.5. In Figura ?? é riportato l'andamento del decremento logaritmico all'aumentare del precarico, dal quale appare evidente la presenza di un valore ottimale di precarico. Un'analisi critica dell'andamento suggerisce l'utilizzo di un valore di precarico piú elevato del valore di ottimo. Per bassi precarichi, infatti, la curva presenza una forte inclinazione, pertanto l'usura puó determinare un abbattimento dello smorzamento.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Log Dec 0.33 0.25 mL 0.00 0.50 0.80

Figura 1.9: Decremento logaritmico in funzione del coeciente di precarico [15]

1.3.3 Cuscinetti a pattini oscillanti

I supporti a geometria ssa sono solitamente progettati per una determi-nata condizione di carico. In molte applicazioni industriali, tuttavia, il

ca-10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Y X r1 r2 Ω Pivot Pad

Figura 1.10: Cuscinetto radiale a pattini oscillanti

rico puó avere variazioni molto consistenti in modulo e direzione, riducendo notevolmente le performance del supporto.

I cuscinetti radiali a pattini oscillanti, abbreviati dall'inglese con la si-gla TPJBs e schematicamente rappresentati in Figura 1.10, sono costitui-ti da patcostitui-tini, costitui-tipicamente quattro o cinque, uguali o dierencostitui-ti, distribuicostitui-ti circonferenzialmente e liberi di ruotare attorno ad un asse (pivot ).

La libertá di ruotare permette ai pattini di adattarsi alle condizioni di carico cosí che la risultante della pressione idrodinamica passi per il pivot. Questo fenomeno riduce fortemente le forze destabilizzanti e scongiura l'insorgenza dei fenomeni di oil-whirl ed oil-whip, facendo si che i TPJBs siano diventati i supporti standard per le applicazioni ad elevata velocitá.

I TPJBs possono essere visti come un naturale sviluppo dei supporti assiali a pattini oscilanti, la cui invenzione risale ai primi del Novecento ad opera di A.G.M. Mitchell (1905) e, indipendentemente, Albert Kingsbury (1907).

Y

X r1 r2

Ω

(a) Rocker pivot

Y X r1 r2 Ω (b) Ball-in-socket pi-vot Y X r1 r2 Ω (c) Flexure pivot

Figura 1.11: Alcune tipologie di TPJBs

Sebbene le prime applicazioni siano da collocare attorno al 1916, i cusci-netti a geometria ssa rimasero i supporti standard no alla prima metá del ventesimo secolo, a causa dei seguenti motivi:

ˆ minor costo di montaggio; ˆ minor potenza dissipata; ˆ maggiore capacitá di carico;

1.3. CUSCINETTI RADIALI AD INCREMENTATA STABILITÁ 11 ˆ velocitá operative dell'epoca basse.

Esistono diverse tipologie di TPJBs, una prima distinzione puó essere fatta in base alla tipologia di pivot.

ˆ Pivot cilindrico (Rocker Pivot) 1.11(a); ˆ Pivot sferico (Ball-in-socket Pivot) 1.11(b); ˆ Pivot essibile (Flexure Pivot) 1.11(c).

In presenza di carichi radiali molto elevati, i cuscinetti con pivot cilin-drico sono caratterizzati da elevate pressioni di contatto che si traducono in deformazione e usura del pivot aumentando il gioco radiale e peggiorando le caratteristiche dinamiche.

Il pivot sferico, oltre a diminuire le pressioni di contatto, permette di adat-tare il carico in funzione del disallineamento tra rotore e supporto. Questa tipologia garantisce ottime prestazioni per carichi moderati e prestazioni di livello inferiore quando il carico radiale é elevato. In tali condizioni, infatti, il carico puó bloccare il pattino in una certa posizione, conferendo al supporto le caratteristiche di un cuscinetto a geometria ssa.

Tra i supporti di ultima generazione sono particolarmente interessanti quelli con pivot essibile, si veda la Figura 1.12, nei quali i pattini sono realizzati direttamente sulla cassa per mezzo di Electron Discharge Machining.

Questa soluzione ha il vantaggio di ridurre l'usura, eliminando il moto relativo tra le parti, ridurre le tolleranze di lavorazione e assemblaggio, e inne eliminare il fenomeno della uttuazione dei pattini scarichi.

Capitolo 2

Stato dell'arte

In questo capitolo sará presentata la schematizzazione del cuscinetto a pat-tini oscillanti, descrivendo i parametri geometrici che lo caratterizzano. Suc-cessivamente sará riportata l'analisi tradizionale, derivata, con le dovute va-riazioni, dalla teoria dei cuscinetti ad arco parziale, illustrando l'eetto delle variabili di progetto sulle prestazioni del supporto. Inne saranno presentati i modelli e i codici piú moderni, evidenziandone le ipotesi e i risultati.

2.1 Schematizzazione dei TPJBs

Facendo riferimento alla Figura 2.1(a), nella quale é rappresentato un cuscinetto a tre pattini, si individuano i parametri raccolti in Tabella 2.1.

Per una generica posizione dell'albero Oas, denita, al solito, da un vettore

di modulo e e argomento φ, ciascun pattino assume una posizione di equilibrio, denita da un'eccentricitá locale ei e un angolo di assetto locale φi.

Lo spessore del lm di lubricante in funzione della coordinata circonferen-ziale, misurata a partire dalla retta di azione del carico totale, é esprimibile come:

h(θ) = Cp(1 − i cos(θ − ψi− φi)) (2.1)

Lo spessore in corrispondenza della posizione del pivot i-esimo Pi si ottiene

calcolando la (2.1) in ψi:

h(ψi) = Cp(1 − i cos(φi)) = Cb(1 −  cos(ψi− φ)) (2.2)

2.2 Analisi tradizionale dei TPJBs

2.2.1 Equilibrio del pattino

Le caratteristiche del cuscinetto vengono calcolate determinando quelle del singolo pattino e assemblando il cuscinetto tramite composizione vettoriale [4]. La posizione di equilibrio del pattino si ottiene dall'imposizione dell'equili-brio di quest'ultimo, dopo aver trovato la distribuzione della pressione sull'arco.

14 CAPITOLO 2. STATO DELL'ARTE Y X Rp Ra ω P1 a α1 ψ ψ1 β1 Rb Ob OP1 P2 P3

(a) Geometria del cuscinetto

Y Rb Oi Ois Oas ei e ϕi ϕ ψ ϑ Pi xi xis δi X

(b) Equilibrio sotto carico

Figura 2.1: Parametrizzazione TPJBs [4] Simbolo Descrizione

n Numero dei pattini Ra Raggio dell'albero

Rb Raggio del cuscinetto: circonferenza tangente ai pattini non ruotati

β Estensione circonferenziale del pattino α Posizione del pivot rispetto al leading edge

ψi Posizione del pivot del pattino i-esimo rispetto alla verticale

α/β Oset del pivot

L Lunghezza assiale del pattino Rp Raggio di curvatura del pattino

Cp Pad clearance: Cp = Rp − Ra

a Distanza tra il centro del cuscinetto e il centro di curvatura del pattino m Coeciente di precarico m = a/Cp

Cb Bearing clearance: Cb = Cp− a = Cp(1 − m) = Rb− Ra

Oas Posizione dell'albero all'equilibrio

e Distanza tra Ob ed Oas

φ Angolo di assetto: angolo formato dal carico e dallo spostamento ~e φi Angolo di rotazione del pad da congurazione scarica a equilibrio

i i = ei/Cp

  = e/Cp

Tabella 2.1: Parametri fondamentali

L'andamento della pressione é ottenuto risolvendo l'equazione di Reynolds con le consuete condizioni al contorno, nelle seguenti ipotesi semplicative:

ˆ ipotesi di validitá della eq. Reynolds (Cap. 1); ˆ peso del pattino trascurabile;

2.2. ANALISI TRADIZIONALE DEI TPJBS 15 ˆ baricentro del pattino coincidente col pivot;

Trovata la distribuzione di pressione si puó imporre l'equilibrio rispetto al sistema di riferimento (Ois, ~xis, ~yis), ipotizzando che:

ˆ la distanza tra il pivot e il centro di massa del pattino sia piccola; ˆ il contributo delle azioni viscose sull'equilibrio sia trascurabile; ˆ il baricentro del pattino coincida col pivot;

In condizioni di equilibrio, indicata con ~Fh la risultante idrodinamica, ei e

φi devono essere tali per cui:

(

Fyi = 0

Cp(1 − i cos(φi)) = Cb(1 −  cos(ψi− φ))

(2.3) Dove ~Fh é data da:

~ Fhi = ( Fxi = RR R p cos(θ − ψi)dθdz Fyi = RR R −p sin(θ − ψi)dθdz (2.4) Risolvendo iterativamente si determina la posizione di equilibrio del pattino e di conseguenza il contributo del pattino al carico complessivo ~W. Il carico complessivo agente sul rotore é ottenuto tramite composizione vettoriale. In generale, stabilita la direzione del carico, l'angolo di assetto φ e l'eccentricitá e sono determinati iterativamente secondo l'algoritmo riportato in Figura 2.2: L'iterazione non é necessaria, sulla base delle ipotesi, qualora i pattini siano uguali tra loro ed equidistanti. In tal caso infatti l'angolo di assetto é nullo e la direzione dello spostamento del perno é parallela alla direzione del carico esterno.

2.2.2 Eetti termici

Nelle ipotesi di validitá dell'equazione di Reynolds si é assunto che le pro-prietá del uido non subiscano variazioni signicative. In realtá si tratta di una approssimazione troppo forte per pretendere di ottenere risultati realisti-ci. Il fenomeno della dissipazione viscosa comporta un aumento di tempera-tura nel meato che abbassa la viscositá del uido, modicando la velocitá e conseguentemente la pressione e la capacitá di carico.

Un approccio semplicato, che permette di utilizzare l'equazione di Rey-nolds e, allo stesso tempo, tener conto della variazione di viscositá, consiste nell'assumere la viscositá costante ma nell'aggiornare iterativamente il valore della viscositá sulla base della potenza dissipata nel meato. Calcolata la coppia d'attrito e la relativa potenza, conoscendo la densitá, il calore specico e la portata in ingresso, si calcola il salto termico medio nel lubricante e quindi la nuova temperatura e la nuova viscositá. Il processo, schematizzato in Figura 2.3, viene iterato nché la variazione di viscositá non scende sotto la soglia imposta.

16 CAPITOLO 2. STATO DELL'ARTE

Stima di ϕ: ϕ=ϕe

Calcolo di ϕi ed εi per ogni pattino

Equazione di Reynolds: distribuzione di pressione

Calcolo risultante pressione Wi

Calcolo delle componenti del carico globale rispetto ad x-y

Wx= Σ Wi,x Wy= Σ Wi,y tan(ϕc)=Wy/Wx |ϕc - ϕe|< Δsoglia Fine SI NO

Figura 2.2: Procedura iterativa per la determinazione dell'equilibrio del perno

Inizializzazione: T, μ(T) Risoluzione equazioni del flusso

|μ'-μ| < μsoglia?

Calcolo coppia d'attrito

FINE INIZIO si no Calcolo ΔT μ' = μ(T+ΔT)

Figura 2.3: Approccio semplicato per gli eetti termici

Un altro approccio consiste nel risolvere l'equazione di Reynolds generaliz-zata, dove la viscositá e la densitá sono sostituite con i valori corrispondenti alla temperatura media del lm. Il problema viene arontato risolvendo alternati-vamente l'equazione di Reynolds e l'equazione dell'energia no a determinare i campi di pressione e temperatura nel dominio. L'equazione dell'energia si ottiene imponendo la conservazione dell'energia totale ad un volume

innite-2.2. ANALISI TRADIZIONALE DEI TPJBS 17 simo di lubricante. Nel caso di meato sottile, se y rappresenta la coordinata perpendicolare allo spessore, si puó scrivere:

ρcv  ∂T ∂t + u ∂T ∂x + w ∂T ∂z  + p∇v = ∂ ∂y  κ∂T ∂y  + Φ (2.5)

dove a sinistra si riconoscono nell'ordine il contributo della convezione, trascu-rata nello spessore, e del lavoro di espansione, mentre a destra si ha il con-tributo della conduzione attraverso lo spessore e la funzione di dissipazione, esprimibile nella forma:

Φ = 1 2µ(vi,j + vj,i) 2₊  χ − 2 3µ  (∇v)2 ≈ µ "  ∂u ∂y 2 + ∂w ∂y 2# (2.6)

2.2.3 Coecienti dinamici

Nella schematizzazione classica il comportamento dinamico di un cuscinetto radiale a n pattini oscillanti é determinato da n + 2 gradi di libertá, ovvero i due gradi di libertá che descrivono il moto del centro del rotore nel piano e le rotazioni degli n pattini. Le forze idrodinamiche esercitate dal uido sul rotore sono funzioni non lineari della posizione e della velocitá del rotore e dei vari pattini. Il problema puó essere semplicato assumendo due ipotesi fondamentali:

ˆ rotore rigido;

ˆ piccoli spostamenti dalla congurazione di equilibrio statico;

Come suggerito da [4] e [8] é possibile considerare l'interazione uido-struttura tra il rotore e il singolo pattino separatamente e assemblare successivamente le matrici dei singoli pattini per caratterizzare l'intero supporto.

Con le ipotesi introdotte e facendo riferimento allo schema di Figura 2.4, nella quale l'asse ξi congiunge il pivot i-esimo e il centro del rotore,

l'equili-brio dinamico del perno e del pattino i-esimo puó essere espresso, in forma matriciale, come segue:

M0 p  i    ¨ ηi ¨ ξi ¨ γi    +C_pi0 _i    ˙ ηi ˙ ξi ˙γi    +K_pi0 _i    ηi ξi γi    =    fηi fξi 0    (2.7) Dove: M0 p  i =   Ma 0 0 0 Ma 0 0 0 Jpi   (2.8) C0 p  i =   cηiηi cηiξi cηiγi cξiηi cξiξi cξiγi cγiηi cγiηi cγiγi   (2.9)

18 CAPITOLO 2. STATO DELL'ARTE y Pi x k_ξiξi χi γi c_ξiξi c_ηiηi k_ηiηi c_γiηi c_γiξi k_γiγic γiγi k_γiηi k_γiξi ηi ξi

Figura 2.4: Schema di corpo libero interazione con pivot rigido [2]

K0 p  i =   kηiηi kηiξ kηiγi kξiηi kξiξi kξiγi kγiηi kγiηi kγiγi   (2.10)

Per una migliore comprensione delle equazioni (2.7), (2.8), (2.9) e seguenti si propone la Tabella 2.2.

Rispetto al sistema di riferimento globale, l'equazione di equilibrio dinamico linearizzata puó essere espressa nella forma:

Ti T M0 p  iTi ¨upi+Ti T C0 p  iTi ˙upi+Ti T K0 p  iTi upi =Ti T f_pi0 (2.11) Dunque sostituendo: Mp  iu¨pi+Cp  i ˙upi+Kp  iupi = fpi (2.12)

Dopo aver calcolato le matrici di massa, rigidezza e smorzamento del singolo pattino nel sistema di riferimento locale e dopo averle trasformate rispetto al sistema di riferimento globale é possibile assemblare il contributo degli n pattini al ne di ottenere le equazioni di equilibrio linearizzate dell'intero supporto.

M  ¨u +C ˙u + K_iu = f (2.13) Nel caso di un cuscinetto costituito da 5 pattini, si ha:

uT =x y γ1 γ2 γ3 γ4 γ5 (2.14) fT =fx fy 0 0 0 0 0 (2.15) fT =fx fy 0 0 0 0 0 (2.16)

2.2. ANALISI TRADIZIONALE DEI TPJBS 19 Simbolo Descrizione

ηi Spostamento del centro del rotore lungo l'asse ~ηi

ξi Spostamento del centro del rotore lungo l'asse ~ξi

Ma Massa del rotore

Jp,i Momento d'inerzia del pattino i-esimo rispetto al pivot

klm Rigidezza equivalente del lubricante

clm Smorzamento equivalente del lubricante

M0 p



i Matrice di massa del pattino rispetto al SdR ξi-ηi

Mp



i Matrice di massa del pattino rispetto al SdR x-y

K0 p



i Matrice di rigidezza del pattino rispetto al SdR ξi-ηi

Kp



i Matrice di rigidezza del pattino rispetto al SdR x-y

C0 p



i Matrice di smorzamento del pattino rispetto al SdR ξi-ηi

Cp



i Matrice di smorzamento del pattino rispetto al SdR x-y

χi Angolo tra l'asse x del sistema di riferimento sso e l'asse ηi

Ti Matrice di trasformazione del pattino i-esimo

vpi Vettore degli spostamenti del pattino i-esimo rispetto al SdR ξi-ηi

upi Vettore degli spostamenti del pattino i-esimo rispetto al SdR x-y

f_pi0 Vettore dei carichi nel SdR ηi-ξi

fpi Vettore dei carichi nel SdR x-y

M  Matrice di massa equivalente del supporto K Matrice di rigidezza equivalente del supporto C Matrice di smorzamento equivalente del supporto

u Vettore degli spostamenti degli spostamenti del supporto f Vettore dei carichi esterni

Tabella 2.2: Simboli relativi alla dinamica dei TPJBs

M  =           Ma 0 0 0 0 0 0 0 Ma 0 0 0 0 0 0 0 Jp,1 0 0 0 0 0 0 0 Jp,2 0 0 0 0 0 0 0 Jp,3 0 0 0 0 0 0 0 Jp,4 0 0 0 0 0 0 0 Jp,5           (2.17) C =           cxx cxy cxγ1 cxγ2 cxγ3 cxγ4 cxγ5

cyx cyy cyγ1 cyγ2 cyγ3 cyγ4 cyγ5

cγ1x cγ1y cγ1γ1 c0 0 0 0 cγ2x cγ2y 0 cγ2γ2 0 0 0 cγ3x cγ3y 0 0 cγ3γ3 0 0 cγ3x cγ3y 0 0 0 cγ4γ4 0 cγ3x cγ3y 0 0 0 0 cγ5γ5           (2.18)

20 CAPITOLO 2. STATO DELL'ARTE K =           kxx cxy kxγ1 kxγ2 kxγ3 kxγ4 kxγ5

kyx kyy kyγ1 kyγ2 kyγ3 kyγ4 kyγ5

kγ1x kγ1y kγ1γ1 c0 0 0 0 kγ2x kγ2y 0 kγ2γ2 0 0 0 kγ3x kγ3y 0 0 kγ3γ3 0 0 kγ3x kγ3y 0 0 0 kγ4γ4 0 kγ3x kγ3y 0 0 0 0 kγ5γ5           (2.19)

In genere tali matrici vengono ridotte a matrici 2x2, esplicitando solamen-te i gradi di libertá del rotore. La riduzione viene eseguita nel dominio della frequenza, ipotizzando che tutti gli spostamenti e i carichi abbiano andamento armonico alla medesima frequenza. La frequenza di riduzione puó essere sin-crona, se la risposta che si vuole analizzare é relativa ad uno sbilanciamento, oppure asincrona. In generale, la riduzione, i cui passaggi sono riportati in appendice, permette di scrivere le equazioni eseguenti:

M_a 0 0 Ma   ¨x ¨ y  +cxx cxy cyx cyy   ˙x ˙ y  +kxx kxy kyx kyy  x y  =fx fy  (2.20) KxxΔx KyyΔy Δx Δy FK CxxΔx CyyΔy Δx Δy FC . . KxyΔy KyxΔx FK,CC . . Δx Δy CROSS COUPLED STIFFNESS FORCE DIRECT DAMPING FORCE

DIRECT STIFFNESS FORCE

Figura 2.5: Forze dinamiche nel lm di uido [5]

In Figura 2.5 é riportata una schematizzazione degli eetti dei diversi coef-cienti. Gli spostamenti lungo gli assi x ed y generano variazioni delle forze in direzione uguale e contraria, pari a Kxx∆xe Kyy∆y, dando origine ad una

risultante radiale di richiamo, quindi stabilizzante. Le variazioni di velocitá lungo gli assi x ed y danno origine a variazioni delle forze Cxx∆ ˙x e Cyy∆ ˙y,

la cui risultante é una forza tangente all'orbita contraria al verso di percor-renza di quest'ultima, quindi stabilizzante. I coecienti Kxy e Kyx legano

rispettivamente lo spostamento ∆y con la variazione di forza lungo x e lo spostamento ∆x con la variazione di forza lungo y. La risultante é una forza tangente all'orbita diretta nel verso di percorrenza della stessa per cui favorisce la vibrazione.

2.3. EFFETTO DEI PARAMETRI GEOMETRICI SULLE PRESTAZIONI21

2.3 Eetto dei parametri geometrici sulle

pre-stazioni

Come si evince dalla schematizzazione presentata, un cuscinetto radiale a pattini oscillanti é caratterizzato da un elevato numero di parametri geometrici. La presenza di tante variabili di progetto costituisce una delle peculiaritá di questo tipo di supporti. Il maggior numero di parti e la maggior complessitá dell'assieme alza notevolmente il costo del supporto ma ore anche leve di progetto, dalle quali scaturiscono vantaggi che vale la pena accennare.

2.3.1 Eetto della congurazione di carico

Y X Ω (a) LBP Y X Ω (b) LOP

Figura 2.6: Congurazioni di carico Solitamente si fá riferimento a due congurazioni di carico:

ˆ LBP - load between pads: ovvero carico tra due pivot (Figura 2.6(a)); ˆ LOP - load on pads: ovvero carico in direzione di un pivot (Figura

2.6(b));

La congurazione LBP permette di avere coecienti di rigidezza e smorzamen-to piú simmetrici rispetsmorzamen-to alla congurazione LOP. Questa simmetria genera orbite circolari che sono preferibili in quanto danno vita ad oscillazioni di minor ampiezza.

In genere la congurazione LOP viene utilizzata quando il carico agente sul supporto é basso.

2.3.2 Eetto dell'oset

Posizionando il pivot in posizione piú avanzata rispetto alla mezzeria del pattino si ottiene un meato di spessore maggiore e conseguentemente una temperatura piú bassa e una maggiore capacitá di carico.

22 CAPITOLO 2. STATO DELL'ARTE

(a) LOP - LBP (b) Oset

Figura 2.7: Eetto della congurazione del carico e dell'oset [10]

2.3.3 Eetto del precarico

Il coeciente di precarico m assume tipicamente valori compresi tra 0.2 e 0.6. Valori di precarico prossimi a zero possono presentare alcuni vantaggi. Nel caso di Figura 2.8, spostandoci verso valori prossimi allo zero aumenta lo smorzamento eettivo, capacitá del supporto di ridurre le vibrazioni del ro-tore. Come dimostrato dalla gura, infatti, lo smorzamento cresce mentre la rigidezza rimane pressoché costante. La rigidezza inuenza notevolmente lo smorzamento eettivo. In particolare all'aumentare dello smorzamento, l'au-mento della rigidezza attenua l'increl'au-mento dello smorzal'au-mento eettivo. Nel caso di Figura 2.9, invece, lo smorzamento aumenta e contemporaneamente la rigidezza diminuisce, generando un maggior incremento dello smorzamento eettivo.

Malgrado la volontá di stabilizzare il sistema, é necessario tenere presente due aspetti molto importanti. In primo luogo, a causa delle tolleranze di lavorazione e montaggio, bassi valori di precarico possono dar luogo a precarichi eettivi di valore negativo. Al diminuire del precarico, inoltre, aumenta la probabilitá che alcuni pattini si scarichino e inizino a uttuare, generando vibrazioni.

2.3.4 Eetto del rapporto L/D

Aumentando la lunghezza assiale del pattino a paritá di diametro del rotore lo smorzamento aumenta e la rigidezza diminuisce. Questo eetto ha portato alla diusione di pattini con rapporto L/D pari a 0.75. La maggiore estensione assiale del pattino rende il cuscinetto piú sensibile ai fenomeni di

disallinea-2.3. EFFETTO DEI PARAMETRI GEOMETRICI SULLE PRESTAZIONI23

Figura 2.8: Eetto del precarico: caso 1 [10]

Figura 2.9: Eetto del precarico: caso 2 [10]

24 CAPITOLO 2. STATO DELL'ARTE

Figura 2.10: Eetto del rapporto L/D [10]

2.4 Codici di calcolo

Diversi sono i codici TEHD presenti, ciascuno é caratterizzato da diverse ipotesi o da diverse strutture di calcolo o inne da obiettivi diversi. In Figura 2.11 é riportato l'algoritmo di un programma capace di analizzare diversi tipi di cuscinetti radiali e strutturato a scatole. Il blocco centrale é il modulo idrodinamico, nel quale viene risolta l'equazione di Reynolds a partire da una posizione iniziale dell'albero. L'equazione viene risolta iterativamente no al raggiungimento dell'equilibrio dell'albero, e dei pattini nel caso di un TPJB.

Il blocco HD é incluso in una struttura piú grande che tiene conto de-gli aspetti termici. L'equazione di conservazione dell'energia puó assumere forme diverse da codice a codice. Nel corso degli anni si é passati da equa-zioni adiabatiche con gradiente radiale di temperatura nullo, a equaequa-zioni 2D generalizzate, che eliminano l'ipotesi di adiabaticitá e tengono conto della di-stribuzione di temperatura assiale in maniera semplicata, calcolando alcuni valori e interpolando.

Sperimentalmente é stato dimostrato che la temperatura dell'albero, a cau-sa della rotazione, puó essere considerata a temperatura costante. Suganami e Szeri, propongono due diverse condizioni al contorno termiche per l'albero. Nel caso in cui il regime di rotazione sia basso, é possibile considerare l'albero a temperatura costante pari alla temperatua media del lm nell'intero supporto. Nel caso in cui l'albero abbia una velocitá di rotazione elevata si puó imporre che sia globalmente adiabatico:

Ta= 1 2π Z 2π 0 T (θ)dθ (2.21)

2.4. CODICI DI CALCOLO 25

Pressure Pad Tilt Angle Journal Position

Initial Values

Film & Pad Temperatures Journal Temperature Inlet Temperature Deformations Output HD THD TEHD

Figura 2.11: Esempio struttura di un codice di calcolo TEHD [5] Per quanto riguarda la temperatura in ingresso del pattino viene imposto un bilancio di energia nel pozzetto, utilizzando dei coecienti empirici basati su dati sperimentali. Raggiunta la convergenza sulle temperature, si passa alla struttura piú esterna che utilizza i carichi idrodinamici per determinare le deformazioni del pattino e gli eetti sui campi di velocitá e pressione, no alla convergenza di tutte le variabili.

Capitolo 3

Analisi e modelli sviluppati

Lo studio condotto si propone di vericare la possibilitá di utilizzare Ansys Multiphysics, software di calcolo general purpose, per l'analisi dei cuscinetti a pattini oscillanti. In questo capitolo sará descritta la strategia adottata per studiare le caratteristiche di un cuscinetto radiale a pattini oscillanti e i modelli sviluppati.

3.1 Descrizione del problema

La scelta del corretto supporto per una data applicazione e l'analisi di nuovi design di pattini richiedono la conoscenza delle caratteristiche del pattino e del supporto al variare della condizione di carico e del regime di rotazione. Le seguenti caratteristiche risultano di particolare interesse:

ˆ capacitá di carico;

ˆ andamento della temperatura; ˆ portate elaborate;

ˆ potenza dissipata.

Il fenomeno della lubricazione idrodinamica nel suo complesso, ovvero includendo gli eetti termici, le deformazioni elastiche e le dilatazioni termi-che, é molto complesso, pertanto l'utilizzo di un software di calcolo risulta indispensabile.

Nel caso di un cuscinetto radiale a pattini oscillanti, il problema si complica maggiormente. Se in una coppia rotoidale con scanalature assiali il meato di lubricante é delimitato dalle superci cilindriche della boccola e del rotore e dalle scanalature di alimentazione dell'olio (Figura 3.1(a)), nel caso di un TP-JBs il volume occupato dall'olio assume una forma ben piú complessa a causa dell'alternarsi dei pattini e dei pozzetti di alimentazione (Figura 3.1(b)). Per questo motivo lo studio di un cuscinetto radiale a pattini oscillanti con tecniche CFD, Computational Fluid Dynamics, non puó essere eettuato modellando il cuscinetto nella sua completezza. Malgrado sia la soluzione piú semplice per tenere conto delle portate di ricircolo e degli eetti termici, un approccio di

28 CAPITOLO 3. ANALISI E MODELLI SVILUPPATI questo tipo richiede una elevata potenza di calcolo, risultando impraticabile, sia nell'ipotesi di coppia innitamente lunga (L/D → ∞) che di cuscinetto corto. Y X O1 Ω Alimentazione Alimentazione

(a) Meato di un Axial Groove

Y X Alimentazione Alimentazione Alimentazione Alimentazione Ω (b) Meato di un TPJBs

Figura 3.1: Geometria del meato

Lo scopo dell'analisi dell'intero cuscinetto é la ricerca della congurazione di equilibrio statico in funzione del carico applicato. Il problema, in realtá, viene studiato in controllo di spostamento. Con riferimento alla Figura 3.2, assegnate la direzione del carico, ad esempio verticale, e una determinata eccentricitá e del rotore, si cerca, iterativamente, la posizione di equilibrio a regime, partendo da una congurazione iniziale descritta dall'angolo di assetto del rotore e dalle inclinazioni degli n pattini.

All'equilibrio le forze risultanti agenti sui pattini devono passare per i pivot e contemporaneamente la risultante delle azioni esercitate dai pattini sul ro-tore deve essere diretta lungo la direzione di carico. Tale congurazione viene raggiunta correggendo iterativamente le inclinazioni dei pattini e l'angolo di assetto, in totale n + 1 gradi di libertá. Ottenuta la congurazione di equili-brio, la risultante dei carichi esercitati dai pattini sul rotore rappresenta una stima del carico esterno applicato. Il problema risulta, quindi, particolarmente complesso anche nel caso di usso bidimensionale (L/D → ∞).

3.2 Assembly Method

Nel 1964, Lund [8] presentó un approccio semplicato, noto come As-sembly Method, per il calcolo dei coecienti dinamici, che riscosse notevole successo [2, 3, 11, 12]. Il metodo dell'assemblaggio consiste nel limitare l'a-nalisi all'interazione tra il rotore e un singolo pattino, considerandolo come un supporto ad arco parziale. In questo modo si riduce notevolmente la com-plessitá dell'analisi, indroducendo, peró alcune approssimazioni signicative. Le caratteristiche del intero cuscinetto sono poi dedotte da quelle del singolo pattino assemblando vettorialmente i contributi dei vari pattini.

Prendendo spunto da tale approccio si procede studiando il singolo pattino al ne di costruire una banca dati in funzione dell'eccentricitá [3].

3.2. ASSEMBLY METHOD 29 Rp Rb Ra Oa Ob Op P1 γR1 γo1 γ1 X Y P2 P3 P4 P5 e ϕ ψ2 ψ3 ψ4 ψ5 ψ

Figura 3.2: Ricerca dell'equilibrio in funzione di e per un supporto a 5 pattini

3.2.1 Mappatura del pattino

La banca dati delle performance del pattino viene costruita analizzando il pattino in congurazione LOP al variare della posizione del rotore. La Figura 3.3 mostra la congurazione utilizzata per l'analisi. Per semplicitá descrittiva si fa riferimento al pattino numero 1, rappresentato con pivot P1 allineato sulla

verticale, passante per il centro del cuscinetto Ob. Questa scelta non altera la

generalitá dell'analisi. Il rotore viene spostato sulla verticale di una quantitá e, lunghezza del segmento ObOa, per la quale l'eccentricitá vale  = e/cp. Per

tale congurazione si ricerca la posizione di equilibrio del pattino a partire da un angolo di inclinazione iniziale, risolvendo le equazioni che governano il problema in regime stazionario. Ottenuta la soluzione per una determinata inclinazione del pattino, si calcolano i carichi agenti sul pattino rispetto al si-stema di riferimento {P1, ξ1, η1, z}riportato in Figura 3.3. In base al valore del

momento Mz passante per l'asse di pivot si corregge l'inclinazione del pattino

con metodo di bisezione e si esegue nuovamente il calcolo. Il processo iterativo, riportato in Figura 3.4, si arresta quando il valore assoluto del momento Mz

scende al di sotto di una soglia opportunamente ssata in modo da avere una buona stima della posizione di equilibrio. L'approccio permette di ottenere la posizione di equilibrio statico con simulazioni in regime stazionario, dove il pattino é considerato sso, evitando cosí le problematiche relative al tran-sitorio e i conseguenti problemi di convergenza della soluzione. Determinata la posizione di equilibrio per una data , il processo viene ripetuto per valori diversi dell'eccentricitá, costruendo cosí la banca dati delle caratteristiche del

30 CAPITOLO 3. ANALISI E MODELLI SVILUPPATI Rp Rb Ra Oa Ob Op P1 γR1 X Y t z η1 ξ1

Figura 3.3: Analisi del singolo pattino in congurazione LOP

pattino in funzione di .

Il range delle eccentricitá da coprire é limitato dalla condizione di scarico del pattino. Per eetto del precarico, i pattini risultano caricati anche in assenza di carico esterno. In tale condizione le azioni sui pattini sono tali per cui la risultante sul rotore é nulla. Entro certi limiti il pattino risulta caricato anche quando la distanza tra pivot e centro del rotore é maggiore di (Rb+ t),

ovvero quando il rotore si allontana dal pattino. La condizione limite si verica quando l'altezza del meato in corrispondenza del pivot é pari alla pad clearance cp, ovvero quando il centro del perno si é allontanato di una quantitá pari a

(cp− cb).

Per ciascuna eccentricitá analizzata si registrano le azioni agenti sul pattino e sul rotore, l'angolo di equilibrio, le proprietá del uido.

3.2.2 Geometria della congurazione di carico

Per una data congurazione di carico, caratterizzata da angolo di assetto φ ed eccentricitá e si traccia la congiungente tra il centro del rotore e il pivot e si riporta il sistema di riferimento locale {Pi, ξi, ηi, zi}. Partendo dalla

con-gurazione con pattini tangenti alla circonferenza di raggio Rb, si ruota ciascun

pattino di un angolo γ0i in modo che l'asse ξi giaccia sul piano di simmetria

del pattino, in modo da riportarsi nella congurazione LOP schematizzata in Figura 3.3. Il rotore si troverá adesso ad una distanza ri dal pivot i-esimo,

3.2. ASSEMBLY METHOD 31

Mz>0? Inizializzazione: e, γR, dγR

Aggiornamento posizione di rotore e pattino

Risoluzione equazioni del flusso

|Mz| < Mzsoglia?

γR = γR + dγR γR = γR - dγR

Risoluzione equazioni del flusso

|Mz| < Mzsoglia?

Mz > 0?

Mzi-1*Mzi > 0? Mzi-1*Mzi > 0?

dγR = 1/2 dγR dγR = 1/2 dγR

γR = γR + dγR

Risoluzione equazioni del flusso

Count=1 Count = Count + 1 Count<Countmax Count = Count + 1 FINE INIZIO si no si no no si si no γR = γR - dγR si no si no si no EQUPAD

Figura 3.4: Algoritmo per la ricerca dell'equilibrio del pattino pertanto risulterá spostato di una quantitá ei:

ei = (Rb+ t) − OaPi (3.1)

dove t rappresenta lo spessore del pattino in corrispondenza del pivot misurato in congurazione di tangenza.

Si puó quindi denire una eccentricitá locale i pari a:

i =

ei

cp

(3.2) Dove valori negativi di ei ed i corrispondono ad un allontanamento del rotore

dal pattino. Con riferimento alle Figure 3.5-3.7, per un cuscinetto a 5 pattini equispaziati si puó scrivere:

r1 = p (Rb + t)2 + e2− 2e(Rb + t)cos(φ) (3.3) r2 = p (Rb+ t)2+ e2− 2e(Rb+ t)cos(ψ2− φ) (3.4) r3 = p (Rb+ t)2+ e2− 2e(Rb+ t)cos(ψ3− φ) (3.5)

32 CAPITOLO 3. ANALISI E MODELLI SVILUPPATI r4 = p (Rb+ t)2+ e2− 2e(Rb+ t)cos(ψ3+ φ) (3.6) r5 = p (Rb+ t)2+ e2− 2e(Rb+ t)cos(ψ2+ φ) (3.7) Rp Rb Ra Oa Ob Op P1 γR1 γo1 γ1 γo1 X Y e r1 η1 ξ1 Fξ1 Fη1 ϕ (a) Pattino 1 Rp Rb Ra Oa Ob Op P2 X Y ϕ e r2 η2 ξ2 Fξ2 Fη2 ψ φ2 γo2 γ2 γR2 (b) Pattino 2

Figura 3.5: Calcolo di r1 ed r2 per una generica posizione del rotore

3.2.3 Interpolazione dei dati

A partire dalla posizione del rotore, si determinano le distanze centro rotore pivot per ogni pattino come dalle Equazioni (3.3-3.7). Con i valori registrati nella banca dati si costruiscono gli andamenti delle varie grandezze in

funzio-3.2. ASSEMBLY METHOD 33 Rp Rb Oa Ob Op3 X Y e r3 Fξ3 Fη3 ϕ 2ψ P3 η3 ξ3 φ3=γo3+2ψ-π/2 φ3 γ3 γR3 γo3 (a) Pattino 3 Rb γR4 γo4 γ4 X Fξ4 Rp Oa Ob Op4 Y r4 Fη4 ϕ P4 η4 ξ4 φ4=π-γo4-2ψ φ4 2ψ e (b) Pattino 4

Figura 3.6: Calcolo di r3 ed r4 per una generica posizione del rotore

ne della distanza tra centro del perno e pivot o, in alternativa, in funzione dell'eccentricitá.

Per la costruzione degli andamenti si puó procedere tramite interpolazio-ne o approssimaziointerpolazio-ne di dati. Trattandosi di risultati ottenuti da simulazioni basate su ipotesi considerevoli, non si ritiene importante che la funzione passi esattamente per i punti nodali, mentre si ritiene fondamentale che la rispetti la monotonia nei casi in cui essa si presenti. Si consideri, infatti, il modulo della forza Fξ(). Ci si attende che tale quantitá sia sempre positiva e sia monotona

crescente all'aumentare dell'eccentricitá. Tali vincoli non rappresentano un problema all'aumentare del numero dei nodi ma un elevato numero di nodi in-cide notevolmente sulla durata dell'analisi. Risulta, perció, necessario trovare un compromesso tra il numero di punti analizzati e l'accuratezza

dell'anda-34 CAPITOLO 3. ANALISI E MODELLI SVILUPPATI Rb Ra Oa Ob X Y e ϕ φ5 γR5 γo5 γ5 ξ5 Rp Op2 P5 r5 η5 Fy5 Fx5 ϕ+ψ φ5 = π/2-γo5-ψ

Figura 3.7: Calcolo di r5 per posizione generica del perno

mento, valutando parallelamente diversi metodi di approssimazione al ne di ottenere i risultati migliori.

Sono stati presi in esame alcuni metodi di interpolazione e approssimazione per valutare gli eetti del metodo sui risultati.

ˆ polinomio di interpolazione di Lagrange;

ˆ interpolazione polinomiale a tratti: Spline cubica naturale; ˆ Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial: PCHIP; ˆ metodo dei dei minimi quadrati nel discreto;

ˆ Smoothing Spline

Facendo ancora riferimento alla forza Fξ si supponga di conoscere k+1

valori, ottenuti dall'analisi di altrettante eccentricitá.

Nel primo caso l'andamento di Fξ() é approssimato dal polinomio Lk()

di grado al piú k, passante per i punti nodali ed esprimibile nella forma: Lk() =

k

X

q=1

lq()Fξ(q) (3.8)

Nel secondo caso si utilizza un'interpolazione polinomiale a tratti che, ri-spetto al caso precedente da risultati migliori all'aumentare del numero di nodi. La funzione interpolante S3(k) di classe C2 e passante per i nodi, é composta

da k polinomi di terzo grado, ciascuno determinato da quattro coecienti, de-terminati imponendo che la funzione passi per i nodi e abbia derivata prima e seconda continua su tutto l'intervallo.

3.2. ASSEMBLY METHOD 35 Il metodo di interpolazione PCHIP consiste in un metodo di interpolazione polinomiale a tratti Shape Preserving. Contrariamente al caso precedente la funzione interpolante é di classe C1_{. Oltre a imporre il passaggio per i nodi, il}

metodo impone alcune condizioni sulla derivata prima. Si traccia inizialmente l'interpolazione lineare a tratti e per ogni nodo si confrontano le inclinazioni delle due rette ivi incidenti. Se le inclinazioni sono nulle o di segno opposto, si impone che la funzione interpolante abbia tangenza orizzontale nel nodo. Se hanno lo stesso segno, si impone che il reciproco della derivata della funzione interpolante sia pari alla media delle inclinazioni delle due rette [9]. In Figura 3.8(a) si riportano gli andamenti ottenuti con i primi tre metodi per Fξrelativa

ad uno dei modelli sviluppati.

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 _Fynodi FyLagrange FySpline FyHermite

(a) Confronto tra Lagrange, Spline e PCHIP -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Fynodi q=2 q=3 q=4 q=5 q=6

(b) Confronto tra andamenti LMS al variare di q

Figura 3.8: Confronto tra Spline e LMS

Inne si valuta la possibilitá di utilizzare una funzione approssimante A(), combinazione lineare di q + 1 funzioni aq di grado q con q ≤ k, scegliendo i

coecienti della combinazione lineare κqin modo da minimizzare la funzione

Ξ(κ0, κ1, ...κq) data da: Ξ(κ0, κ1, ...κq) = k X υ=0 " _q X ι=0 κιaι(υ) − Fξ(υ) #2 (3.9) In Figura 3.8(b) si riportano gli andamenti ottenuti con il metodo dei minimi quadrati nel discreto all'aumentare del grado q del polinomio.

Per il caso presentato l'interpolazione PCHIP e il metodo dei minimi qua-drati con polinomio di grado 5 rappresentano le migliori soluzioni tra le al-ternative n qui proposte. Tuttavia concentrando l'attenzione su valori mol-to bassi dell'eccentricitá si vede che solo l'andamenmol-to ottenumol-to con PCHIP é strettamente positivo.

Inne, si prende in esame il metodo di approssimazione noto come Smoo-thing Spline. In questo caso la curva viene approssimata da una funzione s() che minimizza la quantitá:

pX i wi(Fξ(i) − s(i))2+ (1 − p) Z _{ d}2_s dx2 2 dx (3.10)

36 CAPITOLO 3. ANALISI E MODELLI SVILUPPATI -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 epsilon Fynodi FySpline LSM q=5

(a) Andamento sul range

-0.18 -0.16 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 epsilon Fynodi FySpline LSM q=5

(b) Dettaglio per basse  negative

Figura 3.9: Confronto tra Spline e LMS

dove p rappresenta il parametro di smoothing al crescere del quale il valore di SSE, Sum of Square due to Error, tende a zero indicando una miglior appros-simazione dei dati. La scelta tra i vari metodi viene fatta, caso per caso, a

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 epsilon y Fynodi FyHermite LSM q=5 FySmooth

(a) Andamento sul range

-0.18 -0.16 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0 50 100 150 200 epsilon y Fynodi FyHermite LSM q=5 FySmooth

(b) Dettaglio per basse  negative

Figura 3.10: Confronto tra Hermite e LMS e Smoothing Spline posteriori, sulla base dei valori raccolti nella banca dati.

3.2.4 Assemblaggio

Nota la geometria del cuscinetto e le azioni determinate dalla banca dati é possibile riportare le azioni agenti sul rotore nel sistema di riferimento globale e calcolare il carico totale sul perno. Per ogni eccentricitá é possibile calcolare la posizione di equilibrio del rotore iterativamente a partire da una posizione iniziale caratterizzata da una  globale e φ angolo rispetto alla verticale, retta d'azione del carico. L'iterazione avviene correggendo l'angolo di assetto n-tanto che non si annulla la componente x. Per non appesantire la trattazione si rimanda al listato Matlab riportato in appendice ??. In teoria i TPJBs, grazie alla libertá dei pattini, non hanno eetti incrociati e non presentano

3.2. ASSEMBLY METHOD 37 grandi angoli di assetto come si puó vedere nel confronto con un cuscinetto a 2 scanalature assiali, mostrato in Figura 3.11.

(a) (b)

Figura 3.11: Posizione di equilibrio del perno in funzione di  [5] Anche in condizioni di perfetta simmetria dei pivot rispetto alla direzione del carico, ci si aspetta la presenza di un piccolo angolo di assetto, dal momento che le condizioni del pattino 2 sono diverse da quelle del pattino 5 per eetto della diversa distribuzione di temperatura per eetto del mescolamento. Gli eetti del mescolamento sono ridotti notevolmente da design particolari come i pattini LEG, Leading Edge Groove, e i pattini con Spray Bar. La prima so-luzione ha il pozzetto di alimentazione realizzato sul pattino in corrispondenza del leading edge, volto a creare una sovrapressione tale da impedire il ricircolo di olio e abbassare cosí la pressione. Nel caso in cui si abbia ricircolo le portate calde in ingresso nei vari pattini saranno diverse, conseguentemente saranno diverse le distribuzioni di temperature e le capacitá di carico per eetto della variabilitá della viscositá rispetto alla temperatura. Concludendo ci si aspetta che gli angoli di assetto siano in genere piccoli ma non necessariamente nulli.

3.2.5 Calcolo delle rigidezze

Per il calcolo delle rigidezze si procede con le ipotesi di piccole perturbazioni rispetto alle condizioni di equilibrio come descritto nel Cap. 2.

Per ciascuna congurazione di equilbrio ottenuta si eseguono sei pertur-bazioni, Figura 3.12, spostando il centro del rotore di ±∆ξ lungo l'asse ξ, di ±∆η lungo l'asse η e variando l'inclinazione del pattino di ±∆γ. Tali quan-titá devono rispettare l'ipotesi di piccole perturbazioni attorno all'equilibrio. Gli spostamenti del rotore sono stati imposti pari all'1% della clearance del cuscinetto Cb, mentre la variazione angolare é stata calcolata in modo che alla

massima eccentricitá esaminata, la variazione massima di spessore sia pari ad un punto percentuale del gioco radiale Cb.

38 CAPITOLO 3. ANALISI E MODELLI SVILUPPATI Oa Ob Op P1 γeq X Y t z η1 ξ1 Δη Δη Oa Ob Op P1 γeq X Y t z η1 ξ1 Δξ Δξ Oa Ob Op P1 γeq X Y t z η1 ξ1 γeq-Δγ γeq+Δγ

Figura 3.12: Perturbazioni della posizione di equilibrio per il calcolo delle rigidezze

Gli elementi della matrice di rigidezza [K0

p](Equazione (2.10)) sono dunque

valutati sostituendo alle derivate parziali le dierenze nite centrali. kξη() =

Fξ(0, η0() + ∆η, γeq()) − Fξ(0, η0() − ∆η, γeq())

2∆η (3.11)

dove (0, η0(), γeq()) rappresenta la posizione di equilibrio per l'eccentricitá 

esaminata.

3.3 Caso esaminato

Descrizione Simbolo Valore

Diametro del rotore Da 109.808 mm

Lunghezza assiale del supporto L 44 mm

Numero dei pattini n 5

Congurazione di carico LOP

Estensione circonferenziale del pattino β 60°

Pivot Oset β/α 0.5

Bearing Clearance Cb 0.1 mm

Pad Clearance Cp 0.121 mm

Precarico m 0.16

Spessore del pattino t 17 mm

Momento d'inerzia del pattino Ip 9.67 × 10−5kgm−2

Tabella 3.1: Caratteristiche del supporto analizzato

Per la messa a punto dei modelli sviluppati é stato utilizzato il cuscinetto rappresentato in Figura 3.13, del quale si riassumono le caratteristiche prin-cipali in Tabella 3.1. Si tratta di un cuscinetto dotato di pattini con rocket pivot. La velocitá di rotazione é pari a 7500 rpm.

3.3. CASO ESAMINATO 39

Figura 3.13: Supporto analizzato

Descrizione Unitá Valore

Viscositá cinematica a 40◦_{C mm}2_{/s 46}

Viscositá cinematica a 100◦_{C mm}2_{/s 8}

Densitá a 15◦_{C kgm}3 ₈₇₁

Conducibilitá termica W(mK) 0.14

Calore specico J/(kgK) 2000

Coeciente di scambio termico W/(m2_{K) 589}

Tabella 3.2: Caratteristiche del lubricante

L'alimentazione del lubricante avviene tramite pozzetto situato tra i pat-tini. Il lubricante utilizzato é ISO VG 46, introdotto a 323 K, le cui caratte-ristiche principali sono riportate in Tabella 3.2. La densitá diminuisce all'au-mentare della temperatura secondo un andamento del tipo (3.12). La viscositá dinamica degli oli minerali dipende sia dalla pressione che dalla temperatura. Per bassi valori della pressione, come nel caso in esame, é possibile trascura-re l'eetto della ptrascura-ressione e consideratrascura-re la viscositá come funzione della sola temperatura. ρ(Θ) = ρ0(1 − cρ(Θ − Θ0)) (3.12) µ(Θ) = µoe(−βµ(Θ−Θsupply)) (3.13) µ(Θ) = µinf10(G0(1+ Θ Θ)) (3.14)

Non disponendo di dati sperimentali, per descrivere la variazione di viscositá dinamica con la temperatura si utilizza un andamento teorico disponibile in letteratura. In particolare sono stati presi in considerazione i modelli (3.13) e (3.14). Il secondo modello, molto utilizzato in letteratura, dipende dal valore del parametro βµ che va determinato in funzione del range di temperatura

40 CAPITOLO 3. ANALISI E MODELLI SVILUPPATI atteso. Il modello infatti non é in grado di descrivere correttamente l'anda-mento della viscositá su un range molto vasto di temperatura. Aspettandoci un valore massimo di circa 70◦_{C si determina il valore del parametro,}

riscon-trando, Figura 3.14, che i due modelli nel range di temperatura di interesse sono praticamente equivalenti.

0 20 40 60 80 100 820 840 860 880 Temperatura (°C) Densi tà ( kg m -3) ρ θ( ) θ 0 20 40 60 80 100 0 0.1 0.2 0.3 Temperatura (°C) V isc os it à (P as ) μ θ( ) μμ θ( ) θ

Figura 3.14: Andamenti delle proprietá dell'olio rispetto alla temperatura

3.4 Modelli sviluppati

Per sviluppare lo strumento di analisi si é optato per un processo compo-sitivo, partendo da un modello semplice, molto vicino alla trattazione della letteratura classica in quanto basato sulle stesse ipotesi. Eliminando l'ipotesi di isoviscositá sono stati sviluppati altri tre modelli che tengono conto degli aspetti termici in maniera gradualmente piú complessa. L'intento é quello di aggiungere di volta in volta un aspetto precedentemente trascurato. Questo permette, da un lato, di analizzare con maggiore semplicitá la struttura e le problematiche di preprocessing dei software presi in esame, favorendo lo svi-luppo del modello e il raggiungimento della convergenza. Dall'altro lato, la composizione per gradi permette di valutare il contributo delle singole aggiun-te deaggiun-terminando quali siano 'eettivamenaggiun-te inuenti e quali possano essere trascurate. Ogni ipotesi eliminata viene pagata in termini di calcolo e tempi di risposta per cui l'eetto di un determinato aspetto sul risultato deve es-sere relazionato alla durata del calcolo: un contributo poco signicativo con un'elevata incidenza sui tempi di risposta puó essere trascurato reintegrando l'ipotesi semplicativa nel modello.

I modelli sviluppati sono i seguenti: ˆ Idrodinamico (HD);

ˆ Isotermo Idrodinamico (ISOTHD); ˆ Termoidrodinamico (THD)

 Termoidrodinamico senza ricircolo (ISOTHD COLD);  Termoidrodinamico con ricircolo (ISOTHD HOT);