Particella quantistica in un potenziale armonico

Lezione 9 - Problemi unidimensionali con

l’equazione di Schr¨

odinger

Unit`

a 9.2 Particella quantistica in un potenziale

armonico

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

Particella 1D in un potenziale armonico (I)

L’equazione di Schr¨odinger stazionaria per una particella che si muove solo lungo l’asse delle x `e data da

ˆ H φ(x ) = E φ(x ) , (1) dove ˆ H = −~ 2 2m d2 dx2 + U(x ) (2)

`e l’operatore hamiltoniano di questo problema unidimensionale (1D). Assumiamo che il potenziale esterno U(x ) sia dato da

U(x ) = 1 2m ω

2

x2 (3)

Questo potenziale armonico rappresenta l’energia potenziale di una particella di massa m soggetta alla forza elastica F = −Kelx , dove Kel `e la costante elastica ed

ω = r

Keq

m (4)

Particella 1D in un potenziale armonico (II)

Sostanzialmente il problema in esame si riduce a quello descritto dalla equazione di Schr¨odinger stazionaria

−~ 2 2m d2 dx2φ(x ) + 1 2m ω 2_x2_{φ(x ) = E φ(x ) (5)}

con le condizioni iniziali al contorno: φ(−∞) = 0 e φ(+∞) = 0. Si tratta di una equazione differenziale del second’ordine ma, purtroppo, non a coefficienti costanti. Per risolvere questa equazione serve un metodo speciale.

L’operatore hamiltoniano del problema in esame `e dato da ˆ H = −~ 2 2m d2 dx2+ 1 2mω 2_x2_{. (6)}

Raccogliendo ~ω questo operatore diventa ˆ H = ~ω  −1 2 ~ mω d2 dx2 + 1 2 mω ~ x 2  (7)

Il metodo di fattorizzazione di Dirac (I)

σ = r

~

mω (8)

`e la lunghezza caratteristica che appare nell’operatore hamiltoniano con potenziale armonico, che pu`o quindi essere riscritto come

ˆ H = ~ω  −1 2 d2 d ˜x2+ 1 2˜x 2  (9) avendo introdotto la coordinata adimensionale ˜x = x /σ.

Nel 1927 Paul Dirac osserv`o che vale la relazione ˆ H = ~ω  ˆ a+ˆa + 1 2  (10) dove gli operatori differenziali ˆa+ _{ed ˆa risultano dati da}

ˆ a+= −√1 2 d d ˜x + 1 √ 2x ,˜ ˆa = 1 √ 2 d d ˜x + 1 √ 2x .˜ (11)

Il metodo di fattorizzazione di Dirac (II)

Quindi, nel caso dell’oscillatore armonico, l’operatore hamiltoniano ˆH si pu`o fattorizzare in termini degli operatori ˆa+ _{ed ˆa.}

Questi operatori soddisfano la strana regola di commutatione ˆ

a ˆa+= ˆa+ˆa + 1 (12) quando vengono fatti agire su una generica funzione f (˜x ).

L’operatore ˆa+_{`e detto operatore di creazione, l’operatore ˆa `e detto} operatore di distruzione, mentre il loro prodotto ˆa+<sub>ˆa `e detto operatore</sub> numero e viene indicato con il simbolo ˆN, cio`e

ˆ

N = ˆa+ˆa . (13)

Il metodo di fattorizzazione di Dirac (III)

Per l’operatore numero si pu`o dimostrare che vale la seguente equazione agli autovalori

ˆ

N φn(˜x ) = n φn(˜x ) , (14) dove l’autovalore `e proprio il numero naturale n e la corrispondente autofunzione φn(˜x ) risulta data da

φn(˜x ) = 1 √ n! ˆa +
n φ0(˜x ) (15) dove φ0(˜x ) = 1 π1/4e −˜x2_/2 . (16)

Inoltre, gli operatori ˆa ed ˆa+_{sono tali che} ˆ a φn(˜x ) = √ n φn−1(˜x ) (17) ˆ a+φn(˜x ) = √n + 1 φn+1(˜x ) (18)

Queste formule giustificano i nomi di operatori di distruzione e creazione per ˆa ed ˆa+_.

Energie quantizzate dell’oscillatore armonico (I)

ˆ H = ~ω  ˆ N +1 2  , (19)

da quanto detto segue l’equazione agli autovalori per ˆH ˆ

H φn_{(x ) = ~ω(n +}1

2) φn(x ) , (20)

con En_{= ~ω(n + 1/2) il generico autovalore energetico caratterizzato dal} numero quantico n e con φn(x ) la corrispondente autofunzione data da

φn(x ) =√1 n!  −√σ 2 d dx + 1 √ 2σx n φ0(x ) (21) essendo φ0(x ) = 1 π1/4_σ1/2e −x2_/(2σ2₎ (22) la funzione d’onda gaussiana dello stato fondamentale di energia

Energie quantizzate dell’oscillatore armonico (II)

Quindi lo spettro energetico quantizzato, cio`e le energie quantizzate En dell’oscillatore armonico sono date dalle semplice formula

En_{= ~ω(n +}1

Energie quantizzate dell’oscillatore armonico (III)

Ricapitolando, le energie pi`u basse e le corrispondenti autofunzioni della particella quantistica di massa m in un potenziale armonico

unidimensionale di frequenza ω sono:

E0 = 1 2~ω ↔ φ0(x ) = 1 π1/4_σ1/2e −x2_/(2σ2₎ (24) E1 = 3 2~ω ↔ φ1(x ) = 1 π1/4_σ1/2 √ 2x σe −x2_/(2σ2₎ (25) E2 = 5 2~ω ↔ φ2(x ) = 1 π1/4_σ1/2 1 √ 2( x2 σ2 − 1) e −x2_/(2σ2₎ (26) dove σ =p~/(mω).