Calcolo di Limiti

QUINTA LEZIONE (11/11/2009)

Argomenti trattati: calcolo di limiti, continuit´a di una fun-zione.

1

Esercizi svolti

1.1 Calcolo di limiti

Nello svolgere i seguenti limiti daremo per assodato la conoscenza di alcuni limiti fondamentali:

1. lim x→0 sin x x = 1 (1) 2. lim x→0 ln(1 + x) x = 1 (2) 3. lim x→0 ex− 1 x = 1 (3) 4. lim x→0 1 − cos x x2 = 1 2 (4) 5. lim x→±∞  1 + α x x = eα (5) 6. lim x→0(1 + αx) 1 x = eα (6)

Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1

lim

x→+∞

√

x√1 + x −√x=

Il limite si presenta come forma indeterminata +∞ − ∞. Razional-izziamo tenendo conto che a2− b2 _{= (a − b)(a + b).}

lim x→+∞ √ x√1 + x −√x= lim x→+∞ √ x √ 1 + x −√x
· √1 + x +√x
√ 1 + x +√x
= lim x→+∞ √ x √1 + x − x 1 + x +√x
=x→+∞lim √ x √ 1 + x +√x
= lim x→+∞ √ x √ x · 1 q 1 + 1_x + 1 = 1 2

dove nell’ultimo passaggio abbiamo raccolto a numeratore e denom-inatore il fattore √x. Esercizio 2 lim x→+∞ √ x√3 x + 1 −√3 x − 1=

Il limite si presenta come forma indeterminata +∞ − ∞. Razional-izziamo tenendo conto che a3_{− b}3 _{= (a − b)(a}2_{+ ab + b}2_).

lim x→+∞ √ x  3 √ x + 1 −√3x − 1  = lim x→+∞ √ x 3 √ x + 1 −√3 _{x − 1
·}p(x + 1)3 2₊√3 x2_{− 1 +}p(x − 1)3 2  3 p(x + 1)2₊√3 x2_{− 1 +}p(x − 1)3 ₂ = lim x→+∞ √ x_ x + 1 − x + 1 3 p(x + 1)2₊√3 x2 _{− 1 +}p(x − 1)3 ₂ = lim x→+∞ √ x_ 2 3 p(x + 1)2₊√3 x2 _{− 1 +}p(x − 1)3 ₂ = lim x→+∞ √ x 3 p(x + 1)2 2 1 + 3 q x2₋₁ (x+1)2 + 3 q (x−1)2 (x+1)2 = lim x→+∞ 6 s x3 (x + 1)4 2 1 +q3 x2−1 (x+1)2 + 3 q (x−1)2 (x+1)2 = 0

in quanto il primo termine tende a zero poich´e il grado del numera-tore ´e minore del grado del denominatore mentre il secondo termine tende a 2₃. Esercizio 3 lim x→0 sin x4 sin2x2 =

Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.0₀. Il trucco ´e riportarsi ad uno dei limiti noti. Abbiamo

lim x→0 sin x4 sin2x2 = lim_x→0 sin x4 x4  x2 sin x2 2 = 1 · 1 = 1

ove abbiamo utilizzato (1). Esercizio 4 lim x→0 1 − cos 2x sin23x =

Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.0₀. Abbiamo lim x→0 1 − cos 2x sin23x = limx→0 1 − cos 2x (2x)2 ·  3x sin 3x 2 · 4 9 = 1 2 · 1 · 4 9 = 2 9 ove abbiamo utilizzato (1) e (4).

Esercizio 5 lim

x→0

x2+ 3 sin 2x x − 2 sin 3x =

Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.0₀. Raccogliamo una x a numeratore e denominatore. Abbiamo

lim x→0 x2_{+ 3 sin 2x} x − 2 sin 3x = limx→0 x x · x + 3 · 2 · sin 2x_2x 1 − 2 · 3 · sin 3x_3x = 0 + 3 · 2 · 1 1 − 2 · 3 · 1 = − 6 5 ove abbiamo utilizzato (1).

Esercizio 6 lim x→+∞  1 − e x −x

Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.1∞. Scriviamo lim x→+∞  1 − e x −x = lim x→+∞ h 1 − e x xi−1 = e−e
−1 = ee ove abbiamo utilizzato (3).

Esercizio 7 lim

x→0

ln(1 + 3x) x2_{+ 2x} =

Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.0

0. Riscriviamo il

limite in altra forma: lim x→0 ln(1 + 3x) x2_{+ 2x} = lim_x→03 · ln(1 + 3x) 3x · x x2_{+ 2x} = lim_x→03 · ln(1 + 3x) 3x · 1 x + 2 = 3 · 1 · 1 2 = 3 2

ove abbiamo utilizzato (2). Esercizio 8 lim x→0 √ 1 + x _{sin x}1 =

Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.1∞. Per risolvere il limite risulta utile passare al logaritmo. Ricordando che eln x_{= x}

abbiamo: lim x→0 √ 1 + x 1 sin x = lim x→0e ln₍√1+x₎ 1 sin x = lim x→0e 1 sin x·ln( √ 1+x_{) =} lim x→0e 1 2· ln(1+x) sin x = lim x→0e 1 2· ln(1+x) x · x sin x = e 1 2·1·1= √ e ove abbiamo tenuto conto di (1) e (2).

Esercizio 9 lim

x→0

ln(e + x) − 1

x =

Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.0₀. Osserviamo che ln(e + x) − 1 = ln e · (1 + x_e) − 1 = ln e + ln(1 + x_e) − 1 = 1 + ln(1 + x_e) − 1 = ln(1 +x_e). Pertanto lim x→0 ln(e + x) − 1 x = limx→0 ln(1 + x_e) x = limx→0 1 e · ln(1 + x_e) x e = 1 e · 1 = 1 e ove abbiamo tenuto conto di (2).

Esercizio 10 lim

x→0

arctan x

x =

Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.0₀. Conviene operare un cambio di variabile: y = tan x. Pertanto abbiamo

lim

x→0

arctan x

x = limy→0

y

tan y = limy→0

y

sin y cos y = 1 ove abbiamo usato (1).

Esercizio 11 lim x→π 2 cos x x − π₂ =

Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.0₀. Conviene operare un cambio di variabile: y = x −π₂. Pertanto abbiamo

lim x→π₂ cos x x − π₂ = limy→0 cos(y + π₂) y = limy→0− sin y y = −1 Esercizio 12 lim x→0 arccos x − π₂ x =

Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I.0₀. Conviene op-erare un cambio di variabile: x = cos y da cui y = arccos x. Quando x tende a zero, y tende a π₂. Pertanto abbiamo

lim x→0 arccos x − π₂ x = limy→π₂ y − π₂ cos y = −1 dove abbiamo utilizzato il risultato precedente.

Esercizio 13 lim x→+∞ √ 5 + cos x x2_{+ 1} =

Osserviamo che il numeratore ´e limitato mentre _x21₊₁ ´e infinitesima

per x → +∞. Pertanto si ha lim x→+∞ √ 5 + cos x x2_{+ 1} = 0

Come ultima nota, faccio osservare che alcuni di questi limiti potrebbero essere risolti con altre tecniche pi´u raffinate (e che ve-dremo pi´u avanti durante il gruppo studio). Risulta comunque un utile esercizio affrontare quesiti anche complessi.

1.2 Continuit´a di una funzione

1) Detrminare per quali valori del parametro α la funzione f (x) = √x + 1 per x ≥ 0

[x] + α per x < 0

´e continua sull’intervallo [−1, +∞) ( [x] denota la parte intera di x1_).

Ricordiamo che una funzione ´e continua in un punto x0 se e solo

se lim

x→x0

f (x) = f (x0)

ovvero se limite destro e sinistro coincidono con il valore assunto dalla funzione nel punto. Osserviamo che la funzione ´e continua in [−1, +∞) escluso al pi´u lo zero. Poich´e

lim

x→0+f (x) = lim_x→0+

√

x + 1 = 1 = f (0), la funzione ´e continua a destra dello zero. Ora

lim

x→0−f (x) = lim_x→0−[x] + α = α − 1,

la funzione risulta continua a sinistra se e solo se α − 1 = 1 ovvero α = 2. 2) Sia f (x) = ( _sin(x2₎ x(√x+1−1) per x > 0 a2x_{+ 3 per x ≤ 0.}

Determinare a affinch´e la funzione risulti continua nel suo dominio. La funzione risulta continua in tutti i punti escluso al pi´u lo zero. Poich´e

lim

x→0−f (x) = lim_x→0−a2

x_{+ 3 = a + 3 = f (0),}

la funzione ´e continua a sinistra dello zero. Ora lim x→0+f (x) = lim_x→0+ sin(x2₎ x √x + 1 − 1
=x→0lim+ sin(x2₎ √_{x + 1 + 1}
x2 = 2,

(abbiamo razionalizzato e tenuto conto del limite fondamentale limx→0 sin x_x =

1) la funzione risulta continua se e solo se a + 3 = 2 ovvero a = −1. 3) Determinare per quali valori di α, β ∈ R la funzione

f (x) =    ln(x + β2_{) per x > 0} 1−cos αx arctan x2 per x < 0 1 per x = 0

Osserviamo che la funzione risulta continua in tutti i punti escluso al pi´u lo zero. Abbiamo

lim x→0+ln(x + β 2 ) = ln β2 lim x→0− 1 − cos αx arctan x2 = lim_x→0−α 21 − cos αx (αx)2 x2 arctan x2 = α2 2

dove abbiamo usato (4) e il limite limx→0arctan x_x = 1. Pertanto

ln β2 _{= f (0) = 1 ovvero β = ±}√_{e e} α2 2 = f (0) = 1 ovvero α = ± √ 2.

2

Esercizi proposti

Calcolare i seguenti limiti (quelli contrassegnati sono leggermente pi´u impegnativi) 1. lim x→π₂ cos x x − π₂ = 2. lim x→−∞  1 −π x 2x = 3. lim x→0 √ 1 + 4x − 1 5x_{− 1} = 4. lim x→0± sin(2x− 1) (2x_{− 1)}2 = 5. lim x→±∞ x3₍₂x_{− 2}−x₎ 3x_{+ 3}−x = 6. lim x→+∞e −x  e + 2 x x = 7. lim x→0 etan3x− 1 x (cos x − ex2 ) = 8. lim x→0  1 + x 2 3_x = 9. lim x→0 n √ 1 + 2x − 1 x =

10. lim x→0 log₃(1 + 2x sin x = 11. lim x→0 3x2 − 1 x2 = 12. lim x→0± 1 + 21x 3 + 21x = 13. lim x→+∞ ex_sin(e−x_{sin x)} x = 14. lim x→−∞ x5₃x_{+ 2}x x4₄x_{+ 3}x = 15. lim x→1x − 1 ln x = 16. lim x→0 ln(1 + tan4x) e2 sin4_x − 1 = 17. (∗) lim x→0 1 x p 9 + sin(2x_{− 1) − 3}₌ 18. lim x→0 cos x sin x + x4 x2_{− cos x + 1} =

19. Dire se esistono i seguenti limiti

• lim x→+∞x 3_{(1 + sin x) =} • lim x→+∞x + x 3 sin x2 = • lim x→+∞x + x 3_{sin x =} • lim x→+∞ x − 2x3_{+ sin x} √ 2 + x6_{− cos x · e}sin2x =

2.2 Continuit´a di una funzione 1. Si consideri la seguente funzione

f (x) = ( √ 2+x2₋√_3x2₊₂ x ln(1+x) + b 1 |x| _{per x 6= 0} a per x = 0

ove a ∈ R e b ∈ R+ (b > 0). Determinare per quali valori di a e b la funzione risulta continua in R.

2. Si consideri la seguente funzione f (x) =      αex1+1 αx1 per x < 0 0 per x = 0 xβ_sin 1 x
per x > 0

ove α > 0 e β ≥ 0. Determinare α e β in modo che la funzione risulti continua in 0.

3. Si consideri la seguente funzione

f (x) =      xαsin _x12
+ 1+sin x e1x per x > 0 0 per x = 0 3 1−cos x |x|β _−√ 1 1+x2 per x < 0

ove α ∈ R e β ∈ R. Determinare α e β in modo che la funzione risulti continua in ∈ R.

4. Sia

f (x) = |x|α sin x − tan x x2



Studiare al variare di α ∈ R il limite limx→0f (x) e determinare per