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Esercizi e complementi di Analisi Complessa - 3

Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it

10 marzo 2009

Esercizio 1 Trovare le funzioni olomorfe e iniettive f : C \ S → C in ciascuno dei seguenti casi:

1. S = {1/n : n ∈ N \ {0}} ∪ {0} 2. S = {in : n ∈ N}

Esercizio 2 Sia f : C → C olomorfa e non costante. Supponiamo che esista una successione {zn}n∈Ndi numeri complessi distinti tali che f (zn) = 0 per ogni

n. Allora esiste un insieme denso A ⊆ C tale che per ogni w ∈ A esiste una successione di numeri complessi distinti {wn}n∈Nper cui f (wn) = w per ogni n.

Esercizio 3 Sia f : D → D, olomorfa su D. Allora f ha esattamente un punto fisso all’interno di D. Esercizio 4 Calcolare Z +∞ 0 2x2_{− 1} x4_{+ 5x}2_{+ 4}dx Z +∞ 0 dx x4_{+ 1} Esercizio 5 Calcolare Z +∞ −∞ cos 3x (x2_{+ 1)}2dx Z +∞ −∞ sin 3x (x2_{+ 1)}2dx Esercizio 6 Calcolare Z π −π dx 1 + sin2x Esercizio 7 Dimostrare che

∞ X n=1 1 n4 = π4 90

Esercizio 8 Sia u : Ω → R armonica con Ω ⊆ R2 _{aperto; allora u non ha zeri}

isolati.

Esercizio 9 Sia u : Ω → R come sopra e tale che u2 _`_{e armonica. Allora, se Ω}

`

e connesso, u `e costante.

Esercizio 10 Sia u come sopra; allora x 7→ hx, ∇u(x)i `e armonica.

Esercizio 11 Dimostrare che una funzione armonica non costante è aperta. Esercizio 12 Se u : Ω → R è continua e soddisfa la proprietà della media

u(z0) = 1 2π Z 2π 0 u(z0+ reiθ)dθ 1

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per ogni z0 ∈ Ω e ogni r tale che {|z0− z| < r} `e contenuto in Ω, allora `e

armonica.

Esercizio 13 _{Sia Ω ⊆ C tale che Ω}+ _{= {z ∈ Ω : Im(z) > 0} e Ω}− _{= {z ∈}

Ω : Im(z) < 0} si corrispondano tramite coniugio; sia poi σ = R ∩ Ω. Sia u : Ω+_{∪ σ → R una funzione continua, armonica su Ω}+ _{e nulla su σ. Allora}

esiste un’estensione armonica di u a Ω tale che u(¯z) = −u(z). (Hint: Utilizzare la formula di rappresentazione con il nucleo di Poisson.)

Esercizio 14 Sia f olomorfa su D e tale che |f (z)| → 1 se |z| → 1. Allora f `e razionale.

Esercizio 15 _{Sia A : R}n → Rn

lineare tale che u ◦ A : Rn → R è armonica ogni volta che u : Rn → R è armonica. Allora A è multiplo (reale) di una trasformazione ortogonale.

Esercizio 16 Trovare i polinomi in R[x, y] armonici ed omogenei di grado m. Esercizio 17 Sia f : C → C olomorfa e senza zeri in {|z| ≤ r}; dimostrare che

log |f (0)| = 1 2π

Z 2π

0

log |f (reiθ)dθ

e che tale formula rimane valida anche se f `e non nulla solo in {|z| < r}. Esercizio 18 ( Formula di Jensen) Sia f : C → C olomorfa; supponiamo che a1, . . . , an siano gli zeri di f in {|z| < r}, con ai 6= 0 per ogni i. Costruire

F : C → C senza zeri in {|z| < r} e tale che |f (z)| = |F (z)| se |z| = r. Utilizzare una tale F e gli esercizi precedenti per dimostrare che

log |f (0)| = − n X i=1 log _r |ai| + 1 2π Z 2π 0

log |f (reiθ)|dθ

Esercizio 19 _{Sia U un intorno di S}1

in C; sia f : U → C olomorfa tale che f |_S1 : S1→ Γ `e bigettiva, con Γ = f (S1) una curva semplice chiusa. Supponiamo

inoltre che f (z) percorra Γ in senso antiorario se z per corre S1_{allo stesso modo.}

Allora f si estende ad un biolomorfismo tra il disco e il dominio bordato da Γ. Esercizio 20 Sia S una superficie di Riemann compatta e siano U, V due suoi aperti biolomorfi al disco unitario, tali che S = U ∪ V . Vogliamo dimostrare che S `e biolomorfa alla sfera di Riemann.

1. Siano φ : D → U e ψ : D → V i due biolomorfismi; poniamo Dr= {|z| < r}

e Vr= S \φ(Dr). Dimostrare che esiste r ∈ (0, 1) tale che Vrsia biolomorfo

al disco unitario (sia fr: Vr→ D un tale biolomorfismo).

2. Sia R = {r ∈ (0, 1) : Vrbiolomorfo a D}; dimostrare che la mappa r 7→ r2

manda R in s´e, utilizzando l’esercizio 13.

3. Dimostrare che la successione {f_r2n}_n∈Nper r ∈ R converge sui compatti

di S \ {φ(0)} a una funzione f : S \ {φ(0)} → C olomorfa e iniettiva. 4. Si consideri ora per ogni n la funzione gn : Vr2n → {|z| < Rn} di modo

che gn coincida con fr2n a meno di un fattore reale e di modo che gn e

gn+1 coincidano su Vr2n. Ovviamente anche la successione gn converge

sui compatti; dimostrare che il limite `e un biolomorfismo g : S \ {φ(0)} → {|z| < sup Rn}

5. Dimostrare che g non può essere limitata e dunque S \ {φ(0)} è biolomorfo a C; dedurne che S è biolomorfa alla sfera di Riemann.

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Esercizio 21 Dimostrare che la serie +∞ X n=−∞ 1 (z − n)2

converge uniformemente sui compatti ad una funzione meromorfa su C (che quindi pu`o ammettere una singolarit`a essenziale all’infinito).

Esercizio 22 Dimostrare che la serie del precedente esercizio converge a

f (z) = π

2

sin2πz