Algebra delle matrici

Osservazione: due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe, lo stesso numero di colonne e hanno le stesse entrate in _{K: date}

q j p i j i n j m i j i B b a A ,..., 1 ,..., 1 , ,..., 1 ,..., 1 , ) ( ) ( = = = = = = A=B se e solo se 1) m=p 2) n=q

3) ai,j=bi,j ∈ K per ogni i=1,…,m e j=1,…,n.

Studiamo ora alcune delle proprietà che regolano queste “operazioni”.

Somma di matrici

Per ogni A, B, C ∈_Km,n valgono le seguenti proprietà:

1) Proprietà associativa

Per la dimostrazione si rimanda a pag.3

2) Esistenza dell’elemento neutro

Esiste O ∈_Km,n tale che A+O = O+A = A, dove O è la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente.

Da dimostrare.

3) Esistenza dell’opposto

Esiste la matrice Ã∈_Km,n tale che à + A = O = A + Ã

Se la matrice A ha per entrate gli elementi ai,j, allora

la matrice à ha in posizione (i,j) l’elemento - ai,j.

Una struttura algebrica (G,+) che soddisfa le tre proprietà precedentemente elencate si definisce gruppo:

quindi (_Km,n, +) è un gruppo. 4) Proprietà commutativa

A+B=B+A

Da dimostrare.

Ne segue che (_KKKKm,n,+) è un gruppo commutativo.

Dimostriamo la proprietà associativa 1).

Siano A, B, C generiche matrici di _Km,n allora esistono a_i,j , b_i,j , c_i,j opportune entrate in _{K tali che:}

n j m i j i n j m i j i n j m i j i B b C c a A ,..., 1 ,..., 1 , ,..., 1 ,..., 1 , ,..., 1 ,..., 1 , ) ( ) ( ) ( = = = = = = = = = per esteso

          + + + + =           +           = + n m n m m m n n n m m n n m m n b a b a b a b a b b b b a a a a , , 1 , 1 , , 1 , 1 1 , 1 1 , 1 , 1 , , 1 1 , 1 , 1 , , 1 1 , 1 B A L M M M L L M M M L L M M M L =           +           + + + + = + + n m m n n m n m m m n n c c c c b a b a b a b a , 1 , , 1 1 , 1 , , 1 , 1 , , 1 , 1 1 , 1 1 , 1 C B) (A L M M M L L M M M L

per definizione di somma di matrici

=           + + + + + + + + = n m n m n m m m m n n n c b a c b a c b a c b a , , , 1 , 1 , 1 , , 1 , 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 ) ( ) ( ) ( ) ( L M M M L

per la proprietà associativa della somma in _K

=           + + + + + + + + = ) ( ) ( ) ( ) ( , , , 1 , 1 , 1 , , 1 , 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 n m n m n m m m m n n n c b a c b a c b a c b a L M M M L

per definizione di somma di matrici = A + (B + C)

La dimostrazione poteva essere fatta con la notazione sintetica, giustificando come prima le uguaglianze:

= = + + = + + = = ... ) ) (( ) ( ,..., 1 ,..., 1 , , , n j m i j i j i j i b c a C B A ) ( )) ( ( ,..., 1 ,..., 1 , , , b c A B C a n j m i j i j i j i + + = + + = = = _. Oppure: 1) (A+B)+C ∈Km,n 2) A+ (B+C) ∈Km,n

3) Per definizione di somma di matrici:

(

(A+ B)+C

)

_i,j = (a_i,j +b_i,j )+ c_i,j = ... =

(

)

_{i j} j i j i j i b c A B C a _, +( _, + _, ) = + ( + ) _, =

per ogni i=1,…,m e j=1,…,n.

Prodotto di uno scalare per una matrice

Per ogni A, B ∈_Km,n e per ogni λ, µ ∈_{K valgono le} seguenti proprietà (da dimostrare):

Dunque la matrice somma al

primo membro ha lo stesso numero di righe/colonne della matrice

1) (λλλλ+µ)·A=λλλλ·A+ µ·A (da dimostrare);

2) λλλλ·(A+B)= λλλλ·A+λλλλ·B (da dimostrare);

3) (λλλλ µ)·A=λλλλ (µ·A) (dimostrata di seguito);

4) 1·A=A (da dimostrare).

Per ogni A∈_Km,n e per ogni λ, µ ∈_{K, per definizione} di prodotto con uno scalare:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=           =           = ⋅ n m m n n m m n a a a a a a a a , 1 , , 1 1 , 1 , 1 , , 1 1 , 1 λµ λµ λµ λµ λµ A λµ L M M M L L M M M L

per la proprietà associativa del prodotto in _K

=           = ) ( ) ( ) ( ) ( , 1 , , 1 1 , 1 n m m n a a a a

µ

λ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

L M M M L

A) (µ λ , 1 , , 1 1 , 1 , 1 , , 1 1 , 1 ⋅ ⋅ =                     =           = n m m n n m m n a a a a a a a a L M M M L L M M M L

µ

λ

µ

µ

µ

µ

λ

La stessa dimostrazione con la notazione sintetica, motivando i passaggi: n j m i j i n j m i j i n j m i j i n j m i j i a a a a ,..., 1 ,..., 1 , ,..., 1 ,..., 1 , ,..., 1 ,..., 1 , ,..., 1 ,..., 1 , ) (( ) ) ( ( )) ( ) )( ( = = = = = = = = = λµ = λ µ =λ µ λµ Oppure 1) (λλλλ µ)·A∈Km,n 2) λλλλ (µ·A) ∈Km,n 3)

(

(λµ)(A)

)

_i,j =(λµ)a_i,j =λ(µa_i,j) =

(

λ(µA)

)

_i,j

per ogni i=1,…,m e j=1,…,n.

Prodotto tra matrici 1) Proprietà associativa

Siano A∈_Km,n, B∈_Kn,p e C ∈_Kp,q

Dunque la matrice prodotto al primo membro ha lo stesso numero di righe/colonne della matrice

(AB)C=A(BC) (da dimostrare)

2) Proprietà distributive Siano A∈_Km,n , B,C ∈_Kn,p

A(B+C)=AB+AC (da dimostrare)

Siano A∈ _Kp,m, B,C∈ _Kn,p

(B+C)A=BA+CA (da dimostrare)

3) Elemento neutro sinistro / destro

Siano A∈_Kp,m e Ip ∈Kp,p: IpA=A (da dimostrare)

Siano A∈_Kp,m e Im ∈Km,m: AIm=A (da dimostrare)

Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici è sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna; le tre proprietà

qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice In elemento neutro del prodotto.

Attenzione: rispetto al prodotto non possibile garantire, per ogni matrice, l’esistenza della matrice inversa. Quindi in generale data una matrice A∈Λn,n(K) non è detto che esista Ā tale che

A Ā= In =ĀA.

Ne segue che (Mn(KKKK),+) è un gruppo commutativo,

ma (Mn(KK), ·) non è un gruppo. KK

Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale la legge dell’annullamento del prodotto:

      =       −       − 0 0 0 0 1 3 0 0 0 2 0 1

eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto è la matrice nulla.

La matrice trasposta

Sia A∈_Km,n una matrice di entrate ai,j: si definisce

trasposta di A, la si indica con tA, At oppure AI , una matrice di _Kn,m di entrate aj,i.

Per esteso n m n m m m j i n n K a a a a a a a a a a , , 2 , 1 , , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 ... ... ... A ∈               = M M M m n n m n n i j m m a a a a a a a a a a , , , 2 , 1 , 2 , 2 , 2 2 , 1 1 , 1 , 2 1 , 1 t K ... ... ... A ∈               = M M M .

Con notazione sintetica

m i n j i j t n j m i j i A a a A ,..., 1 ,..., 1 , ,..., 1 ,..., 1 , ) ( ) ( == = = = =

Per costruire la matrice trasposta, trascrivo la i-esima riga di A nella i-esima colonna di tA (scambio le righe con le colonne) o viceversa.

Esempi 1)             − = 3 5 0 1 2 3 3 -0 A

Poiché A∈_R3,2 allora tA∈_R2,3:

        − − = 3 t 5 1 3 0 2 3 0 A 2)             = 3 -2 2 -5 4 -3 21 0 0 -B Poiché B∈M (_{R) allora} tB∈M (_R):

          = ... ... ... ... ... ... ... ... ... B t

Proprietà delle trasposte

Siano A, B∈_Km,n e sia λ∈_{K, allora valgono le} seguenti relazioni:

1) t(tA) = A (da dimostrare);

2) t(A+B) = tA+ tB (dimostrata di seguito);

3) t(λλλλA) = λλλλ tA (da dimostrare).

Devo dimostrare che la matrice t(A+B) è uguale alla matrice tA+ tB:

a) hanno lo stesso numero di righe, b) lo stesso numero di colonne e c) le stesse entrate.

A, B∈_Km,n ⇒ A + B∈_Km,n ⇒ t(A+B)∈ _Kn,m .

D’altra parte A, B∈ _Km,n ⇒ tA , tB∈ _Kn,m ⇒ t

A + tB∈ _Kn,m (dimostrato a) e b)).

Resta da dimostrare che abbiano le stesse entrate, cioè che per ogni i=1,…,n e j=1,…,m in posizione (i,j) nella matrice t(A+B) ci sia lo stesso elemento che si trova in posizione (i,j) nella matrice tA + tB.

L’entrata (i,j) della matrice t(A+B) è uguale all’entrata (j,i) della matrice A+B: aj,i+bj,i.

L’entrata (i,j) della matrice tA + tB è la somma delle entrate (i,j) di tA e di tB. D’altra parte l’elemento in posizione (i,j) di tA è a_j,i e l’elemento in posizione (i,j) di tB è b_j,i: l’entrata (i,j) di tA + tB è a_j,i+b_j,i. c.v.d.

Esercizi da svolgere:

1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula. 2) Si eseguano, quando possibile, le seguenti

operazioni con le matrici:

A tB; tC D; tC tD; tD tC. 3) Date le matrici Si verifichi che: a) t(EL)= tL tE; b) t(EL)≠ tE tL; c) tL=L . ( )           − − =           − = − =       − = 1 0 2 2 4 0 1 0 3 3 2 1 0 1 2 0 3 2 1 D C B A           − − − =           − − = 3 1 1 1 4 0 1 0 2 L 1 0 2 2 4 0 1 0 3 E

Matrici quadrate particolari Sia A∈Mn(K) una matrice quadrata.

Gli elementi (a_1,1, a_2,2, … a_n,n) costituiscono la diagonale principale di A.

La matrice A è detta triangolare superiore se ai,j=0 per ogni i>j (tutti gli elementi al di sotto della

diagonale principale sono nulli).

La matrice A è detta triangolare inferiore se ai,j=0 per ogni i<j (tutti gli elementi al di sopra della

diagonale principale sono nulli).

La matrice A è detta diagonale se ai,j=0 per ogni

i≠j (tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli). La matrice diagonale è sia triangolare superiore che inferiore.

La matrice A è detta simmetrica se coincide con la trasposta: A=tA.

Esempi ) ( 0 0 0 0 2 3 0 0 4 3 0 0 5 2 0 1 4 R M A ∈             − − =

A è una matrice quadrata di ordine 4.

La diagonale principale di A è (-1,0,3,0). A è una matrice triangolare superiore.

) ( 3 0 4 0 5 0 0 0 5 7 0 0 1 4 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 5 R M B ∈                 − − − − =

B è una matrice quadrata di ordine 5.

La diagonale principale di B è (-2,1,1,0,-3). B è una matrice triangolare inferiore.

) ( 0 0 0 0 2 0 0 0 1 3 R M C ∈           − =

C è una matrice quadrata di ordine 3. La diagonale principale di C è (1,-2,0). C è una matrice diagonale.

) ( 0 0 4 0 0 0 1 2 4 1 0 0 0 2 0 3 4 R M D ∈             − − =

D è una matrice quadrata di ordine 4. La diagonale principale di D è (3,0,0,0). D è una matrice simmetrica, infatti

            − − = 0 0 4 0 0 0 1 2 4 1 0 0 0 2 0 3 D t .

Osservazioni:

1) Se A è una matrice triangolare superiore/inferiore, allora tA è una matrice triangolare inferiore/superiore; 2) Se A è una matrice diagonale, allora tA è anch’essa diagonale e A= tA, dunque è anche simmetrica.

Attenzione: le matrici simmetriche non sono necessariamente diagonali.