10 integrali di funzione svolti

Esercizio 1

Calcolare i seguenti integrali 1. Z q1+x_1−xdx 2. Z e2x_−ex ex₊₁ dx *** Soluzione

1. Procediamo per decomposizione, giacch`e: r 1 + x 1_{− x} = √ 1 + x √ 1− x = √ 1 + x √ 1_{− x} · √ 1 + x √ 1 + x = 1 + x √ 1− x2 = √ 1 1_{− x}2 + x √ 1_{− x}2 Quindi: Z r 1 + x 1_{− x}dx = Z dx √ 1_{− x}2 + Z xdx √ 1_{− x}2 = arcsin x₋ 1 2 Z 1_{− x}2
−1/2d 1_{− x}2
= arcsin x−√1− x2_{+ C} 2. Z e2x _{− e}x ex_{+ 1} dx = Z ex_{− 1} ex_{+ 1}d (e x₎

Poniamo ex_{= t, quindi procediamo per decomposizione:}

Z t − 1 t + 1dt = Z t + 1 − 2 t + 1 dt = Z  1− 2 t + 1  dt = t_{− 2 ln |t + 1| + C} Ripristinando la variabile x: I (x) = ex− 2 ln (ex_{+ 1) + C}

Calcolare i seguenti integrali 1. Z xdx 1−√x+1 2. Z x−8 3 √ x−2dx *** Soluzione

1. Procediamo per decomposizione, giacch`e: x 1−√x + 1 = x 1₋√x + 1 · 1 +√1 + x 1 +√1 + x =−  1 +√x + 1 Quindi: Z xdx 1−√x + 1 =− Z  1 +√x + 1dx =− Z dx +Z √x + 1dx  =−x − 2 3(x + 1) 3√ x + 1 + C 2. Abbiamo: x− 8 3 √ x_{− 2} = (√3 _{x− 2)}√3_x2_{+ 2}√3_{x + 4} 3 √ x− 2 = 3 √ x2_{+ 2}√3 _{x + 4}

Quindi procediamo per decomposizione:

Z _x − 8 3 √ x− 2dx = Z _√3 x2_{+ 2}√3 x + 4dx = 3 5x 3 √ x5₊ 3 2 3 √ x4_{+ 4x + C}

Esercizio 3

Calcolare i seguenti integrali 1. Z x−1 √ x+1dx 2. Z 1+sin 2x_dx

*** Soluzione

1. Procediamo per decomposizione, giacch`e: x_{− 1} √ x + 1 = (√x_{− 1) (}√x + 1) √ x + 1 = √ x− 1 Quindi: Z x− 1 √ x + 1dx = Z _√ x_{− 1}
dx =Z √xdx₋ Z dx = 2 3x √ x− x + C 2. Procediamo per decomposizione:

Z 1 + sin 2x cos2_x dx = Z  1 cos2_x+ 2 sin x cos x  dx = Z dx cos2_x − 2 Z d (cos x) cos x = tan x_{− 2 ln |cos x| + C}

Esercizio 4

Calcolare i seguenti integrali 1.

Z

cos x tan x + esin x
_dx

2. Z sin x−sin3_x 1+sin x dx *** Soluzione

1. Procediamo per decomposizione: Z

cos x tan x + esin x
dx = Z cos xsin x cos xdx + Z cos xesin xdx =− cos x + Z esin xd (sin x) =− cos x + esin x_{+ C}

sin x_{− sin}3_x

1 + sin x =

sin x 1_{− sin}2_x

1 + sin x = sin x− sin

2_x Z sin x − sin3_x 1 + sin x dx = Z sin xdx− Z sin2xdx =_{− cos x −} Z sin2_xdx Calcoliamo a parte: _Z sin2xdx sin2x = 1 2(1− cos 2x) Ci`o implica: Z sin2_{xdx =} 1 2 Z dx− Z cos 2xdx  = 1 2  x− 1 2sin 2x  + C1 = 1 4(2x− sin 2x) + C1 Quindi: Z sin x − sin3_x 1 + sin x dx =− cos x − 1 4(2x− sin 2x)

Esercizio 5

Calcolare i seguenti integrali 1. Z x3_+a3 x+a dx 2. Z dx √ x+a+√x+b, a6= b *** Soluzione 1. Abbiamo: x3_{+ a}3 x + a = (x + a) (x2 _{− ax + a}2₎ x + a = x 2_{− ax + a}2

Procediamo per decomposizione: Z x2− ax + a2
_{dx =} Z x2dx− a Z xdx + a2 Z xdx = 1x3− 1ax2+ a2x + C

2. Procediamo per decomposizione, giacch´e razionalizzando: 1 √ x + a +√x + b = √ x + a−√x + b a− b Quindi: Z √x + a −√x + b a_{− b} dx = 1 a_{− b} Z √ x + adx₋Z √x + bdx  = 2 3 (a_{− b)} q (x + a)3₋ q (x + b)3  + C

Esercizio 6

Calcolare i seguenti integrali 1. Z x+(arcsin x)3 √ 1−x2 dx 2. Z xdx √ 1+x *** Soluzione

1. Procediamo per decomposizione: Z x + (arcsin x)3 √ 1_{− x}2 dx = Z xdx √ 1− x2 + Z (arcsin x)3 _√ dx 1− x2 =−1 2 Z 1− x2
−1/2_{d 1− x}2
₊ Z (arcsin x)3d (arcsin x) =−√1− x2₊ 1 4(arcsin x) 4 + C 2. Procediamo per decomposizione, giacch´e:

x √ 1 + x = 1 + x_{− 1} √ 1 + x = √ 1 + x₋√ 1 1 + x Quindi: Z x √ 1 + xdx = Z √ 1 + xdx− Z dx √ 1 + x = 2 3(1 + x) 3/2 − 2√1 + x + C = 2√1 + x (x− 2) + C

Calcolare i seguenti integrali 1. Z sin2_x 1−cos xdx 2. Z 1+e√x √ x dx *** Soluzione

1. Procediamo per decomposizione, poich´e: sin2x 1− cos x = (1_{− cos x) (1 + cos x)} 1− cos x = 1 + cos x Quindi: Z sin2_x 1− cos xdx = Z dx + Z cos xdx = x + sin x + C 2. Procediamo per sostituzione, ponendo:

t =√x, cosicch´e: x = t2, dx = 2tdt Quindi: Z 1 + e√x √ x = 2 Z 1 + et t tdt = 2 Z dt + Z etdt  = 2 t + et
_{+ C} Ripristinando la variabile x: Z 1 + e√x √ x = 2 _√ x + e√x+ C

Esercizio 8

Calcolare i seguenti integrali 1. Z dx x√1−ln2_x 2. Z √ex_{− 1dx} *** Soluzione

1. Procediamo per sostituzione, ponendo:

t = ln x, cosicch´e: dt = dx x L’integrale diventa: I (t) = Z dt √ 1_{− t}2 = arcsin t + C, ripristinando la variabile x: Z dx xp1_{− ln}2x = arcsin (ln x) + C 2. Procediamo per sostituzione, ponendo:

t =√ex_{− 1,} cosicch´e: x = ln t2+ 1
, dx = 2tdt t2_{+ 1} L’integrale diventa: I (t) = Z t· 2tdt t2_{+ 1} = 2 Z t2dt t2_{+ 1} = 2Z t 2_{+ 1− 1} t2_{+ 1} dt = 2 Z dt₋ Z dt t2_{+ 1}  = 2 (t− arctan t) + C, ripristinando la variabile x: Z √ ex_{− 1dx = 2} √_ex_{− 1 − arctan}√_ex<sub>− 1
+ C</sub>

Calcolare i seguenti integrali 1. Z √sin x cos3_xdx 2. Z dx √ (1+x2₎3 *** Soluzione 1. Scriviamo:

I (x) =Z √sin x cos3xdx =Z √sin x cos2xd (sin x) =Z √sin x 1_{− sin}2_{x
d (sin x)}

Procediamo per sostituzione, ponendo:

t = sin x L’integrale diventa: I (t) =Z √tdt− Z t5/2dt = 2 3t 3/2₋2 7t 7/2_{+ C} = 2 3t √ t− 2 7t 3√_{t + C,} ripristinando la variabile x: Z √ sin x cos3xdx = 2 21sin x √ sin x 7− 3 sin2<sub>x
+ C</sub>

2. Procediamo per sostituzione, ponendo:

t = tan t, cosicch´e: 1 + x2 = 1 cos2_t, dx = dt cos2_t L’integrale diventa: I (t) = Z cos tdt = sin t + C ripristinando la variabile x: Z dx q (1 + x2₎3 = √ x 1 + x2 + C

Esercizio 10

Calcolare i seguenti integrali 1. Z dx x√2x−1 2. Z _√ x √ 1−xdx *** Soluzione

1. Procediamo per sostituzione, ponendo:

t =√2x_{− 1,} cosicch´e: x = 1 2 t 2_{+ 1
, dx = tdt} L’integrale diventa: I (t) = Z tdt 1 2(t2 + 1) t = 2 Z dt 1 + t2 = 2 arctan t + C ripristinando la variabile x: Z dx x√2x_{− 1} = 2 arctan √ 2x− 1 + C 2. Procediamo per sostituzione, ponendo:

x = sin2t, cosicch´e: dx = 2 sin t cos tdt L’integrale diventa: I (t) = 2 Z sin2tdt, ch`e `e un integrale noto:

Z

sin2tdt = 1

2(t− sin t cos t) + C1 ripristinando la variabile x:

t = arcsin√x, cos t =p1_{− sin}2_{t =}√_{1− x =⇒ sin t cos t =}p_{x (1− x)}

Quindi: Z √ x √ 1_{− x}dx = arcsin √ x₋px (1_{− x) + C}