(1)Complementi di Matematica - Primo Modulo 21 settembre 2007 1

Complementi di Matematica - Primo Modulo 21 settembre 2007

1. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale y⁰ = − sin xy + sin 2x

2. Risolvere il problema di Cauchy

y⁰⁰− 2y⁰+ 2y = 0 y(0) = 0 y⁰(0) = 1

3.a) Determinare i punti stazionari (precisandone la natura) della funzione f (x, y) = 3e^x+ 2y²+ ye^x

b) Calcolare la derivata direzionale della f nel punto (0, 1) nella direzione del vettore (−1, 2)

c) Scrivere la formula di Taylor della f arrestata al secondo ordine con il resto di Peano e centro (0, 1).

4. Sia

D =

½

(x, y) ∈ R² : 1 2 < y

x < 1, 1 2 < y

x² < 2

¾

Disegnare D e calcolare Z Z

D

y

x⁴ sin( y

x²) dxdy (potr´a essere utile un opportuno cambio di variabili)