Data l’equazione differenziale y0 = (y2− y)(2x − 3), risolvere i problemi di Cauchy: a) y(0

Complementi di Matematica - Primo Modulo 11 settembre 2007

1. Data l’equazione differenziale y⁰ = (y²− y)(2x − 3), risolvere i problemi di Cauchy:

a) y(0) = 1 b) y(0) = ¹₂

2. Determinare la soluzione generale dell’equazione 9y⁰⁰ − 6y⁰+ y = 0

3.a) Determinare il campo di esistenza e i punti stazionari (precisandone la natura) della funzione

f (x, y) = 1 x + 8

y + xy

b) Calcolare la derivata direzionale della f nel punto (1, 2) nella direzione del vettore (3, 4) c) Scrivere la formula di Taylor della f arrestata al secondo ordine con il resto di Peano e centro (1, 2).

4. Sia D la regione ottenuta intersecando il triangolo di vertici (−2, 0), (2, 0), (0, 2) con l’esterno del cerchio di centro l’origine e raggio 1. Calcolare

(i) Z

D

y² dxdy (ii)

Z

D

xy² dxdy