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Equazioni goniometriche
ESERCIZI SVOLTI EQUAZIONI GONIOMETRICHE OMOGENEE IN SENO E COSENO
ESERCIZIO N°1 Risolvere l’equazione
sen2x−2 sen x cos x−
(
2√
3+3)
cos2x=0E’ un’equazione omogenea di secondo grado, infatti se si pone cos x= X e sen x=Y
Si ottiene che il polinomio Y2−2 XY −
(
2√
3+3)
X2 ha tutti i monomi di secondo grado.Dividendo tutti i termini dell’equazione per cos2x ≠ 0 quindi ponendo x ≠π
2+kπ si ha
sen2x
cos2x−2 sen x cos x
cos2x −
(
2√
3+3)
cos2xcos2x =0 Cioè
tg2x−2 tg x−(2
√
3+ 3)=0che è un’equazione di secondo grado nell’incognita tg x Pertanto
∆
4=1+2
√
3+3=(
1+√
3)
2>0Quindi ammette due soluzioni reali e distinte, infatti tg x=1 ±
(
1+√
3)
↗↘1−1−√
3=−√
31+1+
√
3=2+√
3Per tg x=−
√
3 si ha x=120 °+k 180 ° Per tg x=2+√
3 si ha x =75°+k 180 °Prof. Mauro La Barbera 1
ESERCIZIO N°2 Risolvere l’equazione
sen2x +
(
1−√
3)
sen x cos x−√
3 cos2x=0Dividendo tutti i termini dell’equazione per cos2x ≠ 0 quindi ponendo x ≠π
2+kπ si ha
sen2x
cos2x+
(
1−√
3)
sen x cos xcos2x −
√
3 cos2xcos2x =0 Cioè
tg2x +
(
1−√
3)
tg x−√
3=0che è un’equazione di secondo grado nell’incognita tg x Pertanto
∆=
(
1−√
3)
2+4√
3=1+3−2√
3+4√
3=1+3+2√
3=(
1+√
3)
2>0Quindi ammette due soluzioni reali e distinte, infatti
tg x=−
(
1−√
3)
±(
1+√
3)
2
↗
↘
−1+
√
3−1−√
32 =−1
−1+
√
3+1+√
32 =
√
3Per tg x=−1 si ha x=135 °+k 180 ° oppure x=−45°+k 180 ° Per tg x=
√
3 si ha x =60 °+k 180 °Oppure espresse in radianti x=3
4π +k π oppure x=−π 4 +k π
x=π 3+k π
