Problemi di Fisica

Problemi di Fisica

I Vettori

PROBLEMA

SOLUZIONE

PROBLEMA

SOLUZIONE

PROBLEMA

SOLUZIONE

PROBLEMA

SOLUZIONE

PROBLEMA

SOLUZIONE

PROBLEMA

SOLUZIONE

PROBLEMA

Determinare la risultante, sia dal punto di vista grafico che analitico, delle seguenti forze:

F1 = (2; 6) F2 = (-4; 2) F3 = (-6; -3) F4 = (0; -4)

SOLUZIONE

Metodo grafico

Metodo analitico

Tenendo presente il verso delle componenti delle quattro forze, le componenti della forza totale sono date da:

∑ ^{= − − + =−}

= F N

F_{XT X} 2 4 6 0 8 ^{FYT =}∑^{FY =6+2−3−4=1N} F = (-8; 1) per cui il modulo della forza totale è dato da:

( ) ( )^{8 1 65 8.1N}

F F

F_T = _XT² + _YT² = − ² + ² = =

mentre l’argomento è:

°

=

°

−

= α

⇒

−

− =

=

=

α 0,125 7,1 172,9

8 1 F

tg F

xT yT

PROBLEMA

Determinare la risultante, sia dal punto di vista grafico che analitico, delle seguenti forze:

F₁ = 30 N α₁ =30° F₂ = 140 N α₂ =135°

F₃ = 70 N α₃ =180° F₄ = 80 N α₄ =250°

SOLUZIONE

Metodo grafico

Metodo analitico

Le componenti delle singole forze sono:

N sen

sen F F

N cos

cos F F

Y X

15 30 30

26 30 30

1 1

1

1 1

1

=

°

⋅

= α

⋅

=

=

°

⋅

= α

⋅

=

N sen

sen F F

N cos

cos F F

Y X

99 135 140

99 135

140

2 2

2

2 2

2

=

°

⋅

= α

⋅

=

−

=

°

⋅

= α

⋅

=

0

70 180

70

3

3 3

3

=

−

=

°

⋅

= α

⋅

=

Y X

F

N cos

cos F

F

N sen

sen F F

N cos

cos F F

Y X

75 250

80

27 250

80

4 4

4

4 4

4

−

=

°

⋅

= α

⋅

=

−

=

°

⋅

⋅

= α

⋅

=

Le componenti della forza totale sono date da:

∑ ^{= − − − =−}

= F N

F_{XT X} 26 99 70 27 170 ^{FYT =}∑^{FY =15+99+0−75=39N}

F = (-170; 39) Pertanto l’intensità della forza risultante è data da:

( ) ( ) ^N

F F

F_T = _XT² + _YT² = −170 ² + 39 ² = 28900+1521= 30421=174

mentre l’argomento è:

23 170 0

39 ,

F tg F

XT

YT =−

=−

=

α α=−13°=167°

PROBLEMA

Un’automobile si sposta di 40 km verso est e di 30 km verso nord. Determinare lo spostamento risultante.

SOLUZIONE

Rappresentiamo graficamente il problema:

dove il vettore risultante è stato trovato applicando la regola della poligonale, detta anche punta – coda.

Il modulo e l’argomento dello spostamento risultante sono dati da:

km

S= 40²+30² = 2500=50 α= =075⇒α=369° 40

30 , ,

tg

PROBLEMA

Il vettore a è rivolto verso Nord ed ha intensità a = 4,0. Il vettore b è rivolto verso Nord – Est, formando un angolo di 30° con il primo, ed ha intensità b = 6,5.

Determinare il loro prodotto scalare e vettoriale.

SOLUZIONE

Prodotto scalare

5 22 30 5

6 0

4, , cos ,

cos b a b a

c=!•!= ⋅ ⋅ α= ⋅ ⋅ °= c = scalare Prodotto vettoriale

13 30 5

6 0

4 ⋅ ⋅ °=

= α

⋅

⋅

=

⊗

=

sen , , sen b a c

b a c! ! !

c è un vettore di modulo 13, diretto perpendicolarmente al piano contenente i vettori a e b e orientato verso il basso (regola del cavatappi o regola della mano destra).

PROBLEMA

Siano dati il vettore a = (4; -2) ed il vettore b = (3; 1). Calcolare il prodotto scalare e vettoriale.

SOLUZIONE

Rappresentiamo i due vettori su un sistema di assi cartesiani:

Calcoliamo modulo ed argomento di ogni singolo vettore:

5 4 2 4² ( )² ,

a= + − = − =− ⇒α =− °

=

α 05 266

4 2

1

1 , ,

tg

2 3 1 3^{2 2} ,

b= + = α = =0,3⇒α =18,4° 3

tg ₂ 1 ₂

Pertanto l’angolo tra i due vettori sarà:

°

= α + α

=

α _{1 2} 45

In definitiva:

Prodotto scalare

2 10 45 2

3 5

4, , cos ,

cos b a b a

c=!•! = ⋅ ⋅ α= ⋅ ⋅ °= c = scalare Prodotto vettoriale

2 10 45 2

3 5

4, , sen ,

sen b a c

b a c

=

°

⋅

⋅

= α

⋅

⋅

=

⊗

=! !

!

c è un vettore di modulo 10,2 e diretto perpendicolarmente al piano contenente i vettori a e b e con verso uscente dal piano, cioè verso l’osservatore (regola del cavatappi o regola della mano destra).

PROBLEMA

Un protone (p=1,6·10^-19 C; m=1,67·10^-27 kg) entra in un campo magnetico uniforme B=0,30 T, con una velocità V=1,0·10⁴ m/s perpendicolare al campo magnetico. Calcolare la forza magnetica sul protone.

SOLUZIONE

Gli esperimenti dimostrano che una carica elettrica immersa in un campo magnetico subisce una forza magnetica data da:

B V q F! ! !

⊗

⋅

=

Poiché F è una grandezza vettoriale, avrà un’intensità pari a:

N 10 8 , 4 1 30 , 0 10 0 , 1 10 6 , 1 sen B V q

F= ⋅ ⋅ ⋅ α= ⋅ ⁻¹⁹⋅ ⋅ ⁴⋅ ⋅ = ⋅ ⁻¹⁶ dove: α =90°⇒sen90°=1

Un verso e una direzione dati dalla regola della mano destra:

ponendo il pollice della mano destra nel verso della velocità e le altre dita nel verso del campo magnetico, la forza magnetica avrà direzione perpendicolare al palmo della mano e verso uscente.

PROBLEMA

Dati i vettori a = (4; 6) e b = (-3; 2), calcolare il loro prodotto scalare e vettoriale.

SOLUZIONE

Poiché sono note le coordinate cartesiane dei vettori, calcoliamo il prodotto scalare e vettoriale nel seguente modo:

0 2 6 ) 3 ( 4 b a b a b a

c=!•!= _{x x} + _{y y} = ⋅ − + ⋅ =

punto di applicazione: lo stesso dei vettori a e b

direzione: perpendicolare al piano che contiene i vettori a e b verso: entrante

intensità: c = axby – aybx = 4 ⋅ 2 – 6 ⋅ (-3) = 26

Esprimendo i vettori a e b attraverso le coordinate polari (modulo ed argomento):

21 , 7 6 4

a= ² + ² = α = =1,5⇒α =56,3° 4

tg ₁ 6 ₁

b= (−3)² +2² =3,6 =− ⇒α =− °

= −

α 0,67 33,7

3

tg ₂ 2 ₁

il prodotto scalare e vettoriale si calcolano come:

0 90 cos 6 , 3 21 , 7 cos ab b a

c="•!= ⋅ α= ⋅ ⋅ °=

punto di applicazione: lo stesso dei vettori a e b

direzione: perpendicolare al piano che contiene i vettori a e b verso: entrante

intensità: c=ab⋅senα=7,21⋅3,6⋅sen90°=26

dove: α=180°−(56,3+33,7°)=90°