Compito di Fisica Matematica, 19/2/2008
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Risolvere l’equazione differenziale y00(t)+5y0(t)+6y(t) = 0, con le condizioni iniziali y(0) = 2 e y0(0) = 1 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(2) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = ez/2z−1 e ne determini l’ordine.
(3) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(x) = rect(x −14) + rect(x +14).
(4) Sviluppare in serie di Fourier la funzione ϕ(x) introdotta nell’esercizio precedente.
(5) Dopo avere verificato che la funzione
f (x) =
( cosh(2x − 1), 0 ≤ x ≤ 1;
0, altrove
appartiene ad L2(R), lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(6) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
1, t ∈ [−1, 1[;
−1, t ∈ [2, 4[;
0, altrove.
(TdP1) Dimostrare che la funzione f (x) = N e−|x|/π`e una densit`a di probabilit`a per un’opportuna scelta di N . Ricavare la funzione caratteristica associata e la relativa funzione cumulativa.
(TP2) Giustificando il risultato ottenere la probabilit`a che, estraendo (e non reintroducendo) tre numeri da un’urna contenente i numeri da 1 a 90, si ottenga le seguente sequenza: prima estrazione, numero pari; seconda estrazione, numero pari; terza estrazione, numero dispari.
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