Compito di Fisica Matematica, 22/9/2008
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Verificare che la mappa [, ], definita su L2(R) × L2(R) e con valori in C, [f, g] :=
Z
R
f (−x)g(−x)dx, coincide col prodotto scalare abituale.
(2) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = x21+9. e verificare che risulta Z
R
|f (x)|2dx = Z
R
| ˜f (p)|2dp.
(3) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(t) = u(t) cos¡ t2¢
. (4) Studiare la regione di convergenza della serieP∞
n=−∞
(z−πi)n
10|n| e calcolarne la somma.
(5) Risolvere l’equazione differenziale 2y00+ y0 − 6y = 3 con le condizioni iniziali y(0) = 0, y0(0) = 1 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(6) Applicare la procedura di Gram-Schmidt alle funzioni f1(x) = x+1, f2(x) = x2ed f3(x) = 3 in L2(0, 1).
(7) Calcolare l’integraleR2π
0 dθ
2+cos(θ).
(TdP1) Ottenere, se possibile, il valore della costante N perch`e f (x) =
½ N x2(1 + cos(x)), −π4 ≤ x ≤ π4,
0, altrove,
sia una densit`a di probabilit`a. Determinare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 0,1,2.
(TdP2)
Attorno ad un tavolo prendono posto 8 persone, 4 uomini e 4 donne: qual’`e la probabilit`a che ogni uomo sia seduto tra due donne?
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