Compito di Fisica Matematica, 29/1/2008
Prof. F. Bagarello
Lo studente da 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello da 9 cfu ne risolva almeno 6:
(1) Calcolare le singolarit`a della funzione f (z) = πz−11 sin¡1
z
¢e calcolare i residui corrispon- denti. Nel calcolo utilizzare, ove necessario, laP
totResf (zk) = 0.
(2) Ottenere lo sviluppo in serie di Fourier per la funzione f (x) = x + x2.
(3) Verificare che la funzione f (x) = (x2x+9)2 appartiene ad L2(R) e calcolarne la trasformata di Fourier.
(4) Risolvere l’equazione differenziale y00(t) + 3 y0(t) + 2y(t) = π, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(5) Calcolare la derivata debole dell’impulso triangolare f (x) = trg(x).
(6) Calcolare l’integrale I =R
R x2 x6+1dx.
(7) Costruire la densit`a di probabilit`a associata al lancio di due dadi. Calcolarne il valore medio e la probabilit`a che in un lancio esca un risultato compreso tra 3 e 7 (inclusi).
(8) Considerare la funzione F (x) =
( 1 − e−2x x > 0
0 x ≤ 0 Verificare che F (x) `e una funzione cumulativa, ottenere la corrispondente densit`a di probabilit`a e determinare il valore medio della variabile aleatoria e la probabilit`a che la variabile aleatoria assuma valore tra -3 e 4 o un valore maggiore di 2.
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