Fisica Generale I Gianluca Ferrari Meccanica Newtoniana
Tema d’Esame del 13 settembre 2018
Esercizio 1
𝑚 = 0,2 𝑘𝑔; 𝑘 = 1000 𝑁/𝑚; 𝑅 = 1,5 𝑚;
i. Δ𝑙 = ? t.c. il corpo possa compiere un giro completo;
ii. 𝑣𝐵 = ?;
Affinché il corpo possa compiere un giro completo, è necessario che questo arrivi nel punto 𝐵 con una velocità non nulla. Applichiamo il secondo principio della dinamica nel punto in questione, notando che agiscono due forze lungo la direzione centripeta, che sono la forza peso e la reazione vincolare.
𝑚𝑔⃗ + 𝑁⃗⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗⃗⃗⃗⃗ ⟹ 𝑚𝑔 + 𝑁 = 𝑚𝑐 𝑣𝐵2 𝑅
Per determinare la velocità minima con cui arrivare in 𝐵, è necessario minimizzare la reazione vincolare, ponendola uguale a 0, in modo tale da ottenere
𝑚𝑔 = 𝑚𝑣𝐵2
𝑅 ⟹ 𝑣𝐵2 = 𝑔𝑅 ⟹ 𝑣𝐵 = √𝑔𝑅 ≈ 3,83 𝑚/𝑠
Utilizzando il principio di conservazione dell’energia meccanica, è possibile calcolare quanto è compressa la molla, imponendo che l’energia potenziale elastica iniziale sia uguale alla somma della potenziale gravitazionale e cinetica nel punto 𝐵.
1
2𝑘(Δ𝑙)2 = 𝑚𝑔ℎ +1
2𝑚𝑣𝐵2 ⟹ 1
2𝑘(Δ𝑙)2 = 𝑚𝑔(2𝑅) +1
2𝑚𝑔𝑅 1
2𝑘(Δ𝑙)2 =5
2𝑚𝑔𝑅 ⟹ Δ𝑙 = √5𝑚𝑔𝑅
𝑘 ≈ 0,12 𝑚
Fisica Generale I Gianluca Ferrari Meccanica Newtoniana
iii. 𝜃 = 30° ⟹ 𝑎𝑐 = ?; 𝑎𝑡𝑔 = ?;
Quando il corpo ha percorso l’angolo 𝜃 = 30°, si trova ad un’altezza ℎ′ = 𝑅(1 − cos 𝜃)
dal piano orizzontale. Avvalendoci nuovamente della conservazione dell’energia, possiamo calcolare la velocità 𝑣𝜃 in quel punto. Infatti si ha che
𝑈0𝑒𝑙 = 𝑈𝜃𝑝𝑜𝑡 + 𝐾𝜃
dove 𝑈0𝑒𝑙 è l’energia elastica iniziale, 𝑈𝜃𝑝𝑜𝑡 è l’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza della posizione 𝜃, mentre 𝐾𝜃 è l’energia cinetica.
1
2𝑘(Δ𝑙)2 = 𝑚𝑔𝑅(1 − cos 𝜃) +1 2𝑚𝑣𝜃2 da cui
𝑣𝜃2 = 𝑘(Δ𝑙)2
𝑚 − 2𝑔𝑅(1 − cos 𝜃) ⟹ 𝑣𝜃 = √𝑘(Δ𝑙)2
𝑚 − 2𝑔𝑅(1 − cos 𝜃) ≈ 8,34 𝑚/𝑠 Nota 𝑣𝜃, la componente normale – o centripeta – dell’accelerazione sarà data da
𝑎𝑐 = 𝑣𝜃2
𝑅 ≈ 46,4 𝑚/𝑠2
Per quanto riguarda l’accelerazione tangenziale, consideriamo le forze che agiscono nel punto in questione, nonché la forza peso e la reazione vincolare. Quest’ultima è perpendicolare alla circonferenza, quindi sarà centripeta, mentre la forza peso può essere scomposta in una componente tangenziale e in una normale. Il modulo della componente tangenziale sarà dato da
𝐹𝑡𝑔 = 𝑚𝑔 sen 𝜃
Scrivendo la seconda legge della dinamica lungo la direzione tangenziale, avremo dunque
−𝑚𝑔 sen 𝜃 = 𝑚𝑎𝑡𝑔 da cui
𝑎𝑡𝑔 = −𝑔 sen 𝜃 ≈ −4,9 𝑚/𝑠2
