Tema d’Esame del 10 settembre 2018 Esercizio 3

Geometria I Gianluca Ferrari Geometria Proiettiva

Tema d’Esame del 10 settembre 2018

Esercizio 3

i. Si dica per quali valori di ℎ e 𝑘 si ha una forma bilineare.

Affinché la funzione 𝑏 si una forma bilineare, è necessario e sufficiente che la sua espressione analitica sia definita da condizioni di secondo grado omogenee. Per questo motivo è necessario “mandare a zero” il termine (𝑘 − 2)𝑦₃, imponendo 𝑘 = 2.

In definitiva, la funzione è una forma bilineare ∀ℎ ∈ ℝ e 𝑘 = 2.

ii. Si costruisca la matrice che rappresenta 𝑏 rispetto alla base canonica.

La matrice di rappresentazione della forma bilineare in questione sarà data da

𝑀 = (ℎ ℎ² 1

0 1 − ℎ ℎ − 2

1 −2 1

)

iii. Si dica per quali valori di ℎ e 𝑘 la forma bilineare è un prodotto scalare.

Sicuramente 𝑘 dovrà essere uguale a 2, poiché diversamente la funzione non sarebbe nemmeno una forma bilineare. Affinché questa sia un prodotto

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scalare, è necessario che si tratti di una forma bilineare simmetrica ed è quindi necessario e sufficiente che la matrice 𝑀 sia simmetrica. Risolvendo il sistema

{ℎ² = 0 ℎ − 2 = −2

si ottiene che la 𝑀 è simmetrica per ℎ = 0. Dunque 𝑏 sarà un prodotto scalare per 𝑘 = 2 e ℎ = 0.

iv. Si classifichi la conica 𝑞(𝑥₁; 𝑥₂; 𝑥₃) = 0, dove 𝑞 è la forma quadratica associata a 𝑏 per i valori di ℎ e 𝑘 determinati precedentemente, determinandone centro, assi e asintoti.

La matrice di rappresentazione della conica sarà data

𝐶 = (0 0 1

0 1 −2

1 −2 1

) Calcolando il determinante di 𝐶 si ha

det 𝐶 = −1

che, essendo diverso da 0, fa sì che tale matrice abbia rango 2, perciò – essendo rg 𝐶 ≠ 0 – dal punto di vista proiettivo la conica è generale.

Considerando il minore di ordine due in alto a destra è possibile determinare la posizione reciproca tra la conica 𝒞 e la retta impropria, classificando 𝒞 dal punto di vista affine. Essendo

det (0 00 1) = 0

la conica sarà tangente alla retta impropria, perciò sarà una parabola.

La parabola non è una conica a centro, ma può essere determinato intersecandola con la retta impropria 𝑟_∞ ∶ 𝑥₃ = 0.

{𝒞 ∶ 𝑥₂²+ 𝑥₃²+ 2𝑥₁𝑥₃ − 4𝑥₂𝑥₃ = 0

𝑟_∞ ∶ 𝑥₃ = 0 ⟹ 𝑥₂² = 0 ⟹ 𝑥₂ = 0

Chiaramente il centro della parabola è un punto improprio, che in questo caso sarà dato da 𝐶_∞ = [(1; 0; 0)].

Gli asintoti della parabola coincidono con la retta impropria 𝑟_∞ ∶ 𝑥₃ = 0.

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Infine, ricordiamo che la parabola possiede un unico asse, che è dato dalla polare del punto improprio ortogonale al centro. Quest’ultimo sarà il punto 𝑃 = [(0; −1; 0)], perciò è possibile determinare l’asse calcolando

𝜋(𝑃) ∶ (0 −1 0) (0 0 1

0 1 −2

1 −2 1 ) (

𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃) = 0 (0 −1 2) (

𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃) = 0 ⟹ −𝑥₂+ 2𝑥₃ = 0 ⟹ 𝑎 ∶ 𝑦 = 2 v. Determinare le coordinate del polo della retta 𝑟 ∶ 𝑦 − 6 = 0.

In generale, sfruttando il teorema di reciprocità, per determinare il polo di una retta è sufficiente calcolarne le intersezioni con la conica 𝒞, nonché le polari dei punti di intersezione determinati. Il polo della retta sarà dato a sua volta dall’intersezione delle due polari calcolate.

I punti d’intersezione tra la conica e la retta sono le soluzioni del sistema {𝒞 ∶ 𝑦² + 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0

𝑟 ∶ 𝑦 − 6 = 0 ⟹ 36 + 2𝑥 − 24 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −13 Giacché il sistema ammette come soluzioni due punti reali e congruenti, allora la retta è tangente alla conica. Per questo motivo il polo della retta 𝑟 tangente alla conica sarà proprio il punto di tangenza 𝑅 = [(−13; 6; 1)].

vi. Si costruisca il fascio di coniche tangenti a 𝒞 nei punti 𝐴 = [(−1; 0; 2)] = [(−¹

2; 0; 1)] e 𝐵 = [(1; 1; 1)].

Trattandosi di un fascio di coniche bitangenti, la sua espressione si otterrà facendo la combinazione lineare delle coniche degeneri 𝒞̃ e 𝒞₁ ̃, date ₂ rispettivamente dall’unione delle rette 𝑟𝑡(𝐴; 𝐵) ∪ 𝑟𝑡(𝐴; 𝐵) e 𝑡𝑔_𝐴 ∪ 𝑡𝑔_𝐵. In primo luogo determiniamo la retta passante per 𝐴 e 𝐵, che avrà vettore direzionale 𝑣⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 +¹₂; 1 − 0) = (³₂; 1).

𝑟𝑡(𝐴; 𝐵) ∶ {𝑥 = 3

2𝑡 + 1

𝑦 = 𝑡 + 1 → 𝑡 = 𝑦 − 1 ⟹ 𝑥 = 3

2𝑦 −3 2+ 1 𝑟𝑡(𝐴; 𝐵) ∶ 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0

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La prima conica degenere sarà data da

𝒞̃ ∶ (2𝑥 − 3𝑦 + 1)₁ ² = 0

Le tangenti nei punti 𝐴 e 𝐵 alla conica, per il teorema di reciprocità, saranno date dalle polari di tali punti.

𝜋(𝐴) ∶ (−1 0 2) (0 0 1

0 1 −2

1 −2 1

) ( 𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃) = 0 (2 −4 1) (

𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃) = 0 ⟹ 𝜋(𝐴) ∶ 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0 𝜋(𝐵) ∶ (1 1 1) (0 0 1

0 1 −2

1 −2 1

) ( 𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃) = 0 (1 −1 0) (

𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃) = 0 ⟹ 𝜋(𝐵) ∶ 𝑥 − 𝑦 = 0 La seconda conica sarà quindi data da

𝒞₁

̃ ∶ (2𝑥 − 4𝑦 + 1)(𝑥 − 𝑦) = 0

In conclusione, il fascio di coniche ricercato può essere scritto come ℱ ∶ (2𝑥 − 4𝑦 + 1)(𝑥 − 𝑦) + 𝑘(2𝑥 − 3𝑦 + 1)² = 0