Elettromagnetismo Gianluca Ferrari Elettrostatica
Tema d’Esame del 10 settembre 2018
Esercizio 1
Si consideri una crosta sferica di centro 𝑂, raggio interno 𝑅1 = 10 𝑐𝑚 e raggio esterno 𝑅2 = 30 𝑐𝑚 costituita di materiale conduttore. In 𝑂 è presente una carica puntiforme 𝑄 = 10 𝑝𝐶.
i. Calcolare le densità di carica superficiali e volumetriche indotte sul conduttore.
Anzitutto notiamo che le due superfici sferiche sono costituite di materiale conduttore.
di conseguenza abbiamo che, essendo in esso le cariche libere di muoversi, queste si possono redistribuire in modo tale portare il conduttore ad una situazione di equilibrio elettrostatico, dove il campo elettrico al suo interno è nullo e si trova a potenziale costante. Per questo motivo abbiamo che non c’è distribuzione volumetrica di carica al suo interno, ma soltanto superficiale. Nello specifico sulla superficie di raggio 𝑅1 si depositerà una carica indotta −𝑄 per schermare la carica puntiforme interna, mentre su quella di raggio 𝑅2 si depositerà una carica indotta +𝑄 per garantire che la carica complessiva del sistema sia soltanto quella della carica puntiforme. Di conseguenza avremo le seguenti distribuzioni superficiali:
𝜎1 = − 𝑄
4𝜋𝑅12 ; 𝜎2 = + 𝑄 4𝜋𝑅22
ii. Calcolare il campo elettrico in tutte le zone dello spazio.
Utilizzando le coordinate sferiche, per simmetria del sistema, notiamo che il campo elettrico è diretto lungo il versore 𝑟̂ e dipende in modulo solo da 𝑟 poiché la simmetria sferica è invariante per rotazioni lungo 𝜃 e 𝜑. A questo punto si ha che
- Se 𝑟 ∈ ]0; 𝑅1[, il campo elettrico è quello della carica puntiforme, dunque 𝐸⃗ (𝑟) = 1
4𝜋𝜀0 𝑄 𝑟2𝑟̂
- Se 𝑟 ∈ ]𝑅1; 𝑅2[, il campo elettrico è nullo, poiché siamo all’interno di un conduttore che è equipotenziale. Ciò si può vedere applicando ad esempio il teorema di Gauss.
Elettromagnetismo Gianluca Ferrari Elettrostatica
𝐸⃗ (𝑟) = 0
- Se 𝑟 ∈ ]𝑅2; +∞[ siamo fuori dal conduttore e il campo elettrico torna ad essere quello della carica puntiforme.
𝐸⃗ (𝑟) = 1 4𝜋𝜀0
𝑄 𝑟2𝑟̂
In definitiva
𝐸⃗ (𝑟) = { 1 4𝜋𝜀0
𝑄
𝑟2𝑟̂ 𝑠𝑒 0 < 𝑟 < 𝑅1∨ 𝑟 > 𝑅2 0 𝑠𝑒 𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2 iii. Calcolare il potenziale in tutte le zone dello spazio.
Poniamo il potenziale uguale a zero all’infinito (𝜑(+∞) = 0).
Se 𝑟 ∈ ]𝑅2; +∞[
𝜑(𝑟) = 𝜑(+∞) − ∫ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑙
𝑟 +∞
= − ∫ 1
4𝜋𝜀0 𝑄 𝑟2𝑑𝑟
𝑟 +∞
= 𝑄
4𝜋𝜀0𝑟 𝜑(𝑅2) = 𝑄
4𝜋𝜀0𝑅2 Se 𝑟 ∈ ]𝑅1; 𝑅2[
𝜑(𝑟) = 𝜑(𝑅2) − ∫ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑙
𝑟 𝑅2
= 𝜑(𝑅2) = 𝑄 4𝜋𝜀0𝑅2 𝜑(𝑅1) = 𝑄
4𝜋𝜀0𝑅2 Se 𝑟 ∈ ]0; 𝑅1[
𝜑(𝑟) = 𝜑(𝑅1) − ∫ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑙
𝑟 𝑅1
= 𝑄
4𝜋𝜀0𝑅2+ [ 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟]
𝑅1 𝑟
= 𝑄
4𝜋𝜀0(1 𝑅2+1
𝑟 − 1 𝑅1) iv. Calcolare la capacità associata alla superficie sferica di raggio 𝑅2.
Per definizione, la capacità è il rapporto fra la carica e il potenziale, di conseguenza si ha
𝐶2 = 𝑄
𝑉2 = 𝑄 𝑄 4𝜋𝜀0𝑅2
= 4𝜋𝜀0𝑅2
