Tema d’Esame del 13 settembre 2018 Esercizio 3

Fisica Generale I Gianluca Ferrari Termodinamica

Tema d’Esame del 13 settembre 2018

Esercizio 3

𝑇₁ ≈ 273 𝐾; 𝑇₂ > 𝑇₁; Δ𝑆₂ = −3 𝐽/𝐾; 𝑄₂ = 1750 𝐽; 𝑛 = 5 𝑚𝑜𝑙;

𝑝_𝐴 = 8 ⋅ 10⁴ 𝑃𝑎; 𝑉_𝐴 = 0,12 𝑚³; 𝑇_𝐴 = 𝑇_𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝑡;

i. 𝜂 = ?;

Trattandosi di una macchina termica reversibile, si avrà una variazione di entropia dell’universo pari a zero. In formule si ha

Δ𝑆_𝑢 = Δ𝑆_{𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜} + Δ𝑆₁+ Δ𝑆₂ = 0 Inoltre, per definizione, Δ𝑆_{𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜} = 0, quindi

Δ𝑆₁ = −Δ𝑆₂ = 3 𝐽/𝐾

Note la temperatura 𝑇₁ e Δ𝑆₁, possiamo calcolare la quantità di calore 𝑄₁ ceduto dalla macchina. Infatti

Δ𝑆₁ = −𝑄₁

𝑇₁ ⟹ 𝑄₁ = −Δ𝑆₁𝑇₁ ≈ −819 𝐽 Analogamente, noti 𝑄₂ e Δ𝑆₂, determiniamo 𝑇₂

Δ𝑆₂ = −𝑄₂

𝑇₂ ⟹ 𝑇₂ = − 𝑄₂

Δ𝑆₂ ≈ 583,3 𝐾

Trattandosi di una macchina reversibile, utilizziamo il teorema di Carnot per determinare il rendimento.

𝜂 = 1 −𝑇₁

𝑇₂ ≈ 53,2 % ii. 𝑉_𝐵 = ?;

Fisica Generale I Gianluca Ferrari Termodinamica

Calcoliamo il lavoro prodotto dalla macchina termica, tenendo conto che 𝑄₂ = |𝑄₁| + 𝑊 ⟹ 𝑊 = 𝑄₂− |𝑄₁| ≈ 931 𝐽

Trattandosi di una trasformazione isoterma, il lavoro prodotto sarà dato da 𝑊 = ∫ 𝑝^𝐵

𝐴

𝑑𝑉 = ∫ 𝑛𝑅𝑇 𝑉

𝐵 𝐴

𝑑𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 ∫ 𝑑𝑉 𝑉

𝑉_𝐵 𝑉_𝐴

= 𝑛𝑅𝑇 log (𝑉_𝐵 𝑉_𝐴) dove la temperatura 𝑇 dell’isoterma si ricava dall’equazione di stato

𝑝_𝐴𝑉_𝐴 = 𝑛𝑅𝑇_𝐴 ⟹ 𝑇 ≔ 𝑇_𝐴 = 𝑝_𝐴𝑉_𝐴

𝑛𝑅 ≈ 230,9 𝐾

Dal calcolo del lavoro per l’isoterma in questione, è possibile determinare 𝑉_𝐵. 𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 log (𝑉_𝐵

𝑉_𝐴) ⟹ 𝑉_𝐵 = 𝑉_𝐴exp ( 𝑊

𝑛𝑅𝑇) ≈ 0,13 𝑚³ iii. 𝑚 = ?; Δ𝑆_𝑚 = ?;

Il ghiaccio si trova nella prima sorgente, che è già alla temperatura di fusione. Perciò la variazione di entropia di tale sorgente sarà dovuta proprio alla fusione del ghiaccio, nonché avremo

Δ𝑆₁ = ∫ 𝑑𝑄 𝑇₁

𝑓 𝑖

=𝜆_𝑓

𝑇₁∫ 𝑑𝑚^𝑓

𝑖

=𝜆_𝑓𝑚

𝑇₁ ⟹ 𝑚 = Δ𝑆₁𝑇₁

𝜆_𝑓 ≈ 2,46 𝑔

Chiaramente, essendo la sorgente costituita dal ghiaccio, la variazione di entropia di quest’ultimo sarà proprio Δ𝑆₁ determinata precedentemente.