Tema d’Esame del 10 settembre 2018 Esercizio 2

(1)

Geometria I Gianluca Ferrari Geometria Analitica

Tema d’Esame del 10 settembre 2018

Esercizio 2

i. Si dimostri che 𝛼 e 𝑟 sono incidenti, determinandone l’intersezione 𝑃.

Per dimostrare formalmente che la retta e il piano sono incidenti è necessario verificare tramite il teorema di Rouché-Capelli che il sistema di equazioni ammette ∞⁰ ≔ 1! soluzioni.

Consideriamo dunque la matrice

(𝐴|𝑏⃗ ) = (1 0 2 0

0 1 2 1

1 0 −1 0) e determiniamo i ranghi delle matrici 𝐴 e (𝐴|𝑏⃗ ).

det 𝐴 = det (1 0 2

0 1 2

1 0 −1

) = −1 − 2 = −3 ≠ 0

Essendo det 𝐴 ≠ 0 abbiamo che rg 𝐴 = rg(𝐴|𝑏⃗ ) = 3, perciò il sistema è risolubile e ammette ∞³⁻³ = ∞⁰ soluzioni.

Determiniamo ora il punto di intersezione 𝑃 risolvendo il sistema, oppure scrivendo la retta in forma parametrica e sostituendo i valori di 𝑥, 𝑦 e 𝑧 ottenuti in funzione del parametro nell’equazione cartesiana del piano.

Seguendo il primo metodo, giacché stiamo lavorando in forma matriciale, sfruttiamo il metodo di Gauss-Jordan, ottenendo una matrice rappresentativa di un sistema equivalente a quello della traccia. Nel caso considerato, sostituiamo la terza riga con la differenza tra essa e la prima.

(2)

(1 0 2 0

0 1 2 1

1 0 −1 0

) → (1 0 2 0

0 1 2 1

0 0 −3 0 )

Il sistema così ottenuto sarà

{𝑥 + 2𝑧 = 0 𝑦 + 2𝑧 = 1

−3𝑧 = 0

⟹ {𝑥 = 0 𝑦 = 1 𝑧 = 0

da cui le coordinate del punto 𝑃 = 𝛼 ∩ 𝑟 sono date da (0; 1; 0).

In alternativa, le equazioni parametriche della retta sono – ad esempio – 𝑟 ∶ {𝑥 = −2𝑡

𝑦 = 1 − 2𝑡 𝑧 = 𝑡

che, sostituite nell’equazione cartesiana di 𝛼, portano all’equazione

−2𝑡 − 𝑡 = 0 ⟹ 𝑡 = 0

Per tale valore di 𝑡, sostituendolo nella retta 𝑟, si ottiene proprio il punto 𝑃(0; 1; 0).

ii. Si determini l’angolo 𝜃 compreso tra 𝑟 e 𝛼.

Consideriamo in primo luogo l’angolo formato tra il vettore direzionale della retta 𝑣⃗⃗⃗ = (2; 2; −1) e il vettore 𝑛⃗ = (1; 0; −1) normale al piano. L’angolo _𝑟 in questione sarà il complementare dell’angolo ricercato, perciò il coseno dell’angolo tra i due vettori sarà il seno dell’angolo 𝜃 ricercato. In formule

cos 𝑣̂ = sen 𝜃 _𝑟𝑛

Ricordando la definizione di coseno tra due vettori, abbiamo che sen 𝜃 = cos 𝑣𝑛̂ = ± 𝑣⃗⃗⃗ ⋅ 𝑛⃗ _𝑟

‖𝑣⃗⃗⃗ ‖‖𝑛⃗ ‖_𝑟 = ± 2 + 0 + 1

√4 + 4 + 1√1 + 0 + 1 = ±3

6 = ±1 2 Avremo dunque che gli angoli formati tra il piano e la retta sono 𝜃₁ =^𝜋₆ e 𝜃₂ =^5𝜋₆.

iii. Si determini un’equazione cartesiana delle sfere 𝛴 t.c. i centri 𝐶 ∈ 𝑟 e 𝛴 sia tg ad 𝛼 e 𝛽 ∶ 𝑦 + 𝑧 = 0.

Il generico centro 𝐶 della sfera ricercata avrà coordinate del tipo 𝐶(−2𝑡; 1 − 2𝑡; 𝑡), visto che deve appartenere alla retta 𝑟. La condizione di

(3)

tangenza tra la sfera e i piani fa sì che le distanze tra il centro e i piani debbano essere uguali, in quanto esse rappresentano il raggio 𝑟 della sfera ricercata, così che

𝑟 = 𝑑(𝐶; 𝛼) = 𝑑(𝐶; 𝛽) 𝑟 = |−2𝑡 − 𝑡|

√1 + 0 + 1 =|1 − 2𝑡 + 𝑡|

√0 + 1 + 1 ⟹ 1 − 𝑡 = ±3𝑡 I valori di 𝑡 ottenuti sono dati da

1 − 𝑡 = −3𝑡 ⟹ 𝑡₁ = −1

2∨ 1 − 𝑡 = +3𝑡 ⟹ 𝑡₂ =1 4 Nel primo caso abbiamo che il raggio della sfera ricercata è

𝑟₁ =|3𝑡₁|

√2 =3 4√2

mentre il centro 𝐶₁ avrà coordinate (1; 2; −¹₂), da cui l’equazione della prima sfera sarà

Σ₁ ∶ (𝑥 − 1)² + (𝑦 − 2)²+ (𝑧 +1 2)

2

= 9 8 Nel secondo caso, invece, il raggio sarà

𝑟₂ =|3𝑡₂|

√2 = 3 8√2 e il centro 𝐶₂ avrà coordinate (−¹

2;¹

4), così che Σ₂ avrà equazione Σ₂ ∶ (𝑥 +1

2)

2

+ (𝑦 −1 2)

2

+ (𝑧 −1 4)

2

= 9 32 Svolgendo i calcoli si ottiene

Σ₁ ∶ 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²− 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 + 1 + 4 +1 4−9

8 = 0 ⟹ Σ₁ ∶ 𝑥²+ 𝑦² + 𝑧²− 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 + 53

8 = 0 Σ₂ ∶ 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²+ 𝑥 − 𝑦 −𝑧

2+1 4+1

4+ 1 16− 9

32 = 0 ⟹ Σ₁ ∶ 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧² + 𝑥 − 𝑦 −𝑧

2+ 9

32 = 0