b sin(2t)) 2 2 • Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono): x→−∞lim arctan(x2) 2x2

(1)

Pisa, 15 Gennaio 2003

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

sin(2x) = 2 cos x · sin x per ogni x ∈ R 2 2

La funzione x³ + e^x `e monotona su tutto R 2 2

La funzione sin(cosh x) `e periodica 2 2

La funzione f (x, y) = x²− 2x + y²+ 7 non ha punti stazionari in R² 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≥ 3} `e convesso 2 2 Esiste M ∈ R tale che x − y² ≤ M per ogni (x, y) ∈ R² 2 2

2 cos x + x² = 2 + o(x³) per x → 0 2 2

La serie P∞

n=02ⁿ/(n!) converge 2 2

La sol. generale di u⁰⁰+ 2u⁰+ 5u = 0 `e u(t) = e^−t(a cos(2t) + b sin(2t)) 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

arctan(x²)

2x² = . . . lim

x→0

arctan(x²)

2x² = . . . lim

x→+∞

arctan(x²)

2x² = . . . . min3 + arctan(x²⁰) : x ∈ R = . . . .

Z +∞

1

2

x² dx = . . . .

• Siano

f (x, y) = x

y + log 3, A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [−1, 1], 0 ≤ y ≤ 1 − |x| . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(1, 1) = . . . .

Z

A

2 dx dy = . . . .

Test d’esame Telecomunicazioni 2003 1.1

(2)

cos(2x) = 2 sin²x − 1 per ogni x ∈ R 2 2

sinh x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0 2 2

x = 0 `e un punto di minimo relativo della funzione x⁵− 3 2 2 Se a₀ = 0 e a_n+1 = 2a_n− 1 per ogni n ∈ N, allora a3 = −7 2 2 Esiste max {sin(x cos(x + y)) : (x, y) ∈ [1, 2] × [5, 7]} 2 2

∀ε > 0 ∃K ∈ R tale che 0 < e^x < ε per ogni x ≤ K 2 2

cos x = 1 + o(x²) per x → 0 2 2

a_n≥ 0 per ogni n ∈ N e √ⁿ

a_n→ 2003 =⇒ P a_n diverge 2 2

L’equazione differenziale u⁰+ u arctan t = log(1 + t²) `e lineare 2 2

x→−∞lim

e^2x³ − 1

x³ = . . . lim

x→0

e^2x³ − 1

x³ = . . . lim

x→+∞

e^2x³ − 1

x³ = . . . . maxx − x²+ 1 : x ∈]0, 1[ = . . . .

supn

x ∈ [−1, 1] : arcsin x < π 6

o

= . . . .

• Siano

f (x, y) = (x + y)(x²+ y²), A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], 1 ≤ y ≤ x + 1 . Calcolare:

∂²f

∂y²(1, 1) = . . . .

Z

A

2x dx dy = . . . .

(3)

sin(−π/4) = −√

2/2 2 2

L’equazione x⁸ = 1 ha esattamente due soluzioni reali 2 2

La successione n⁸· 8⁻ⁿ tende a 0 2 2

La funzione x³− x, da R in R, `e monotona 2 2

Se f (x, y) = 3xy + y², allora ∇f (1, 1) = (3, 2) 2 2

∀M ∈ R ∃x ≥ M tale che sin x = 1 2 2

sin x · arctan x = x²+ o(x²) per x → 0 2 2

La serieP∞

n=2(−1)ⁿ/n! converge 2 2

La soluzione generale dell’eq. diff. u⁰ = u + 1 `e u(t) = ce^t+ t 2 2

x→−∞lim x + 2

x + 1 = . . . lim

x→−1⁻

x + 2

x + 1 = . . . lim

x→0

x + 2

x + 1 = . . . . max {n ∈ N : 3n − 19 ≤ 0} = . . . .

inf (

α > 0 :

∞

X

n=1

3 + n²

n^α+ 7 converge )

= . . . .

• Siano

f (x, y) = log(3xy) + 7, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ 0 . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(4, 5) = . . . .

Z

A

3y dx dy = . . . .

(4)

Pisa, 4 Febbraio 2003

Per ogni α ∈ R, β ∈ R si ha che sin(α − β) = cos α sin β − sin α cos β 2 2 x = 0 `e un punto di massimo relativo per f (x) = 8 + cos x 2 2 Se x₀ = 3 e x_n+1 = x²_n per ogni n ∈ N, allora xn → 1 2 2 L’equazione |2x + 1| = |2x + 3| ha un’unica soluzione reale 2 2

sinh²x = x²+ o(x⁵) per x → 0 2 2

Esiste n ∈ N tale che 2ⁿ≥ 2002n 2 2

La successione n⁻²log⁸⁰n tende a 0 2 2

Il raggio di convergenza della serie di potenzeP∞

n=2nⁿxⁿ `e +∞ 2 2

La sol. generale dell’eq. diff. u⁰⁰+ 4u⁰ = 0 `e u(t) = c₁sin(2t) + c₂cos(2t) 2 2

x→−∞lim

x + sin 2x

x = . . . lim

x→0

x + sin 2x

x = . . . lim

x→4π

x + sin 2x

x = . . . .

inf (

α > 0 :

∞

X

n=1

n²

n^2α+ 9 converge )

= . . . .

max {x ∈ R : arctan(x − 8) < 0} = . . . .

• Siano

f (x, y) = 2x²e^y +√

2, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x . Calcolare:

∂²f

∂x²(5, 1) = . . . .

Z

A

2p

x² + y²dx dy = . . . .

(5)

arccos x ≥ 0 per ogni x ∈ [−1, 1] 2 2

2¹⁰⁰⁰ + 2¹⁰⁰⁰ = 2²⁰⁰⁰ 2 2

La successione 8ⁿ/(n!) tende a 0 2 2

Esiste min {e^x− x³³: x ∈ R} 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : |x| ≤ 3, |y| ≤ 4} `e convesso 2 2

∀M ∈ R ∃K ∈ R tale che x⁵ ≥ M per ogni x ≤ K 2 2

sin x + sin x³ = x + o(x²) per x → 0 2 2

La serieP∞

n=2(−1)ⁿn/(n + 3) converge 2 2

La sol. del problema di Cauchy u⁰ = 2tu, u(0) = −1 `e u(t) = −e^−t² 2 2

lim

x→0⁺

x +√ x

x + 2x² = . . . lim

x→1

x +√ x

x + 2x² = . . . lim

x→+∞

x +√ x

x + 2x² = . . . .

sup

α > 0 :

Z +∞

4

x^α

√x⁶+ 3dx converge

= . . . .

sup {4 + e^x : x ≤ 5} = . . . .

• Siano

f (x, y) = 6y|x| + log 7, A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ x⁴ . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(2, −1) = . . . .

Z

A

x²dx dy = . . . .

(6)

cos(π + α) = − cos α per ogni α ∈ R 2 2

2^π > 8 2 2

La funzione x³sin x `e dispari 2 2

Se a_n ≥ 0 per ogni n ∈ N e √ⁿ

a_n→ 8, allora a_n→ +∞ 2 2

1 − cosh x = o(x²) per x → 0⁺ 2 2

Per ogni M ∈ R esiste x ∈ R tale che x²− x³ < M 2 2 x = 0 `e un punto di minimo relativo per la funzione sin x² 2 2 La serieP∞

n=0(n + 2)(n²+ 3)⁻¹ converge 2 2

L’equazione differenziale u⁰ = 1 + tu² `e lineare 2 2

lim

x→0⁺

x −√ x x +√

x = . . . lim

x→4

x −√ x x +√

x = . . . lim

x→+∞

x −√ x x +√

x = . . . .

min

x ∈ R : arctan x < 1 2

= . . . .

supx ∈ R : x² ≤ 11 = . . . .

• Siano

f (x, y) = 2x²+ 3xy + sin 3, A =(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x²+ y² ≤ 4 . Calcolare:

∂²f

∂x²(0, 0) = . . . .

Z

A

3 dx dy = . . . .

(7)

Pisa, 12 Giugno 2003

cos(−π/6) = 1/2 2 2

x⁴ > 16 =⇒ x > 2 2 2

La funzione sinh(cos x) `e periodica 2 2

La funzione |x²− 5| ha esattamente un punto di minimo assoluto 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x²+ 7y² ≤ 25} `e convesso 2 2

n⁴− sin n! − 2ⁿ> 0 definitivamente 2 2

x + sin x − arctan 2x = o(x) per x → 0 2 2

La serie di potenze P∞

n=4n⁻³xⁿ converge per ogni x ∈ R 2 2 u(t) = te^t `e una soluzione dell’equazione differenziale u⁰ = u + e^t 2 2

x→−∞lim sin x

x² = . . . lim

x→0⁺

sin x

x² = . . . lim

x→2π

sin x

x² = . . . .

mine^−x : 0 ≤ x ≤ 3 = . . . . Z +∞

0

3

1 + x² dx = . . . .

• Siano

f (x, y) = cos(xy) +√

7, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, x ≤ 0 . Calcolare:

∂²f

∂x²(0, 1) = . . . .

Z

A

4x dx dy = . . . .

Test d’esame Telecomunicazioni 2003 4

(8)

Pisa, 27 Giugno 2003

Se x ∈ [π/2, π] e sin x = 1/2, allora x = 2π/3 2 2

L’equazione cosh x = x + 1000 ha esattamente una soluzione reale 2 2 Se a_n> 0 per ogni n ∈ N e an+1/a_n → 8, allora √ⁿ

a_n→ 8 2 2

La funzione sin(sin⁸x) `e periodica 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : |x| < 3, |y| ≤ 4} `e chiuso 2 2 Esiste M ∈ R tale che x²− x³ ≤ M per ogni x ∈ R 2 2

log(1 + sin x) = x + o(x) per x → 0 2 2

{√

n · an} → 2003 =⇒ P an converge 2 2

L’equazione differenziale u⁰ = (sin u)(sin t) `e a variabili separabili 2 2

x→0lim

| sin 2x|

x = . . . lim

x→0⁺

| sin 2x|

x = . . . lim

x→+∞

| sin 2x|

x = . . . .

min {α ∈ R : 2^α ≥ 16} = . . . . Z +∞

2

xdx = . . . .

• Siano

f (x, y) = sin(x + y + 3), A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4, y ≥ x . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(1, 1) = . . . .

Z

A

3 dx dy = . . . .

(9)

Pisa, 21 Luglio 2003

La retta 4x + 2y + 5 = 0 `e parallela alla retta y = −2x 2 2

Se x³ = 25, allora x > 3 2 2

Se a_n > 0 per ogni n ∈ N e an+1/a_n→ 8, allora a_n → 8 2 2

La funzione x³+ x `e monotona su tutto R 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : |x| < 3, |y| ≤ 4} `e limitato 2 2 Per ogni M ∈ R esiste n ∈ N tale che 3ⁿ− 1000n ≥ M 2 2

2x + e^3x= 1 + 5x + o(x²) per x → 0 2 2

Il raggio di convergenza diP∞

n=1n²⁰xⁿ `e 1 2 2

L’insieme delle soluzioni di u⁰⁰⁰+ 3u⁰ = 0 `e uno spazio vett. di dim. 3 2 2

x→−∞lim x

e^2x− 1 = . . . lim

x→0

x

e^2x− 1 = . . . lim

x→+∞

x

e^2x− 1 = . . . . max3 − x⁴ : −4 ≤ x ≤ 3 = . . . .

inf (

α ∈ R :

∞

X

n=1

n + sin n

3n^α+ cos n converge )

= . . . .

• Siano

f (x, y) = x^y− 6, A = [−1, 1] × [0, 1].

Calcolare:

∂f

∂x(3, 2) = . . . .

Z

A

(3x + 4y²) dx dy = . . . .

Test d’esame Telecomunicazioni 2003 6

(10)

Pisa, 20 Settembre 2003

La funzione f (x) = 10x + sin x, da R in R, `e iniettiva 2 2 La funzione f (x) = 10x + sin x, da R in R, `e surgettiva 2 2

√10 +√ 5 = √

15 2 2

La funzione e^sin²^x `e periodica 2 2

(1, 1) `e un punto stazionario per la funzione f (x, y) = 3x + y² 2 2 Per ogni M ∈ R esiste K ∈ R tale che e^x> M per ogni x > K 2 2

sinh x − x = o(x) per x → 0 2 2

|a_n| → 0 =⇒ P a_n converge 2 2

u⁰⁰+ 6u⁰ = sin t, u(2) = 0, u⁰(0) = 3 `e un problema di Cauchy 2 2

x→−∞lim 3x

arctan x = . . . lim

x→0

3x

arctan x = . . . lim

x→+∞

3x

arctan x = . . . . max {3 − sin x : 0 ≤ x ≤ π} = . . . .

inf (

α > 0 :

∞

X

n=1

(−1)ⁿ 1

n^α converge )

= . . . .

• Siano

f (x, y) = 3(x + y)², A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [−1, 1], x²− 1 ≤ y ≤ 0 . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(0, 0) = . . . .

Z

A

4 dx dy = . . . .