MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE

MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE

Teoria Lagrangiana della dispersione degli inquinanti

Modello totalmente statistico

(il più realistico tra quelli finora realizzati).

In questa sede => Breve Introduzione

Elementi meteorologici di base del modello a particelle:

=> conoscenza, ad ogni istante di interesse, del campo tridimensionale del vento medio (cui si demanderà totalmente l’azione di trsasporto dell’inquinante);

=> conoscenza, ad ogni istante di interesse, del campo di turbolenza (soprattutto delle deviazioni standard delle tre componenti del vento).

Per quanto riguarda le sorgenti che emettono inquinanti, gli elementi di base sono, come sempre:

• le caratteristiche geometriche di ogni sorgente (quota di emissione e posizione geografica);

• le caratteristiche fisiche (velocità e temperatura di emissione dei fumi);

• le caratteristiche chimiche (tasso di emissione dei differenti inquinanti).

ELEMENTI TEORICI DI BASE

L’idea di base del modello è:

 il plume di una sorgente può essere modellizzato come un’emissione di un numero enorme di particelle (mimando così l’emissione

dell’enorme numero di molecole di inquinante), Particella = entità astratte aventi le caratteristiche seguenti:

-è priva di un vero e proprio volume;

- ad essa viene attribuita una massa di inquinante considerato tale che la somma della massa posseduta da tutte le particelle emesse nell’unità di tempo è pari al tasso di emissione della sorgente;

 quando una particella lascia la sorgente, se si trascura il galleggiamento all’emissione, si trova in balia del campo di vento istantaneo (mai uguale al campo medio) e descrive nel tempo una traiettoria.

 più elevata è la turbolenza dell’aria, più variabile è il campo istantaneo del vento e quindi maggiori sono le deviazioni standard delle tre componenti del vento.

L’emissione è rappresentata da un’emissione contemporanea di particelle identiche.

Tutte le particelle emesse al medesimo istante dalla stessa sorgente, statisticamente possono sentire un campo di vento istantaneo differente (realizzazione statistica di un processo

stocastico).

E’ chiaro che la media di tutti i campi istantanei è il campo medio.

Se tutte queste particelle sentono campi di vento istantanei differenti, inevitabilmente seguono traiettorie differenti.

La media delle traiettorie di tutte le particelle è il pennacchio di fumo che lascia la sorgente.

Se una particella si trova nel punto X al tempo t₁ e possiede una velocità istantanea u(t₁), dopo un

intervallo di tempo Δt (cioè al tempo t₂=t₁+Δt) dove si troverà la particella?

X

t₁

t₁+t

Y Z

Risposta  equazione della traiettoria della particella che permette di determinare la posizione della particella a t₂, una volta nota la sua posizione al tempo t₁ ed il campo istantaneo di velocità:

 ^{t X} ^{t u}^X ^{t t} ^dt

X

t

t





 ²

1

1 ;

2

dove u è la velocità istantanea della particella che non può essere misurata o stimata veramente.

E’ necessario, quindi, trovare un modo che ci permetta di studiare il movimento della particella mediante variabili che possono essere misurate più semplicemente.

Formalmente, si può introdurre il concetto di

velocità efficace cioè di una velocità costante nell’intervallo temporale t₂ – t₁ che, applicata alla particella la faccia passare da X₁ a X₂. E’ può essere definita formalmente come:

^X ^{t t} ^dt

t u u

t

t

e 

¹ ^{2 ;}

In questo caso la traiettoria della particella può essere data da:

 t X t u t X ₂  ₁  _e

Considerazioni sulla velocità efficace:

si tratta della velocità della particella che però è in balia del campo di vento, quindi ci dovrà essere sicuramente l’influenza di quest’ultimo.

Prima Ipotesi: la velocità di una particella è pari alla somma della velocità media del vento locale e di una fluttuazione propria della particella considerata.

' u u u_e  _m 

la fluttuazione di velocità della particella dovrà dipendere dai fattori seguenti:

- dalla turbolenza locale dell’aria - dalla storia passata della particella

- da qualcosa di casuale proprio della particella considerata.

Ipotesi 2: la fluttuazione di velocità della particella è un processo stocastico di tipo markoviano, cioè un processo casuale che, di tutta la storia passata, ricorda solo l’istante precedente.

Normalmente è sufficiente applicare la Teoria dei processi stocastici Markoviani per ottenere una definizione usabile di fluttuazione di velocità della particella. Qui ci arriverà in modo intuitivo.

Alcune ipotesi sulla natura della fluttuazione u^’:

 deve essere legata in qualche modo alla turbolenza locale del PBL rilevata con misure di tipo euleriano (che sono poi le normali misure che si realizzano).

 è caratteristica di una data particella e dato che essa appartiene ad un vortice turbolento, è probabile che in tale perturbazione ci sia della memoria della storia passata della particella nel vortice stesso.

 dato che i vortici turbolenti sono strutture parzialmente coerenti, è certo che la particella nel suo movimento subirà anche eventi non prevedibili (eventi casuali).

 eventi che:

- varieranno da particella a particella

- ma che comunque, dovranno in qualche modo essere vincolati dalla turbolenza rilevata nel punto in cui si viene a trovare la particella (descritta principalmente, ma non solo, dalla deviazione standard delle tre componenti del vento).

Traduzione in termini matematici

     ' '' ' t₂ M t₂ t₁ u t₁ u

u    

Questa è la forma discreta e semplificata dell’Equazione di Langevin della Teoria dei processi Markoviani.

La fluttuazione istantanea di velocità della particella al tempo t₂ è la somma di:

 un termine che rappresenta la memoria di quanto la particella ha subito all’intervallo t₂-t₁. Questo è il termine M(t₂-t₁).

Col passar del tempo, la particella si dimentica progressivamente del passato;

un termine che rappresenta un evento casuale (diverso da particella a particella) che ha luogo a t_2.

La Teoria dei Processi Stocastici Markoviani asserisce che tale termine (u”) è una realizzazione di processo gaussiano a media nulla. Il problema è quale sia la sua deviazione standard.

E’ quindi necessario ottenere delle relazioni utilizzabili per esprimere questi due termini.

Misura della memoria di una particella



Funzione di Autocorrelazione



     

2

' '

u

t t u t t u

R 





 



t=t₂-t₁.

In generale, R(t)  funzione esponenziale del tipo:

 t  t T_L

R  exp 

T_L è il Tempo Caratteristico Lagrangiano di Scala relativo alla componnete considerata (se è piccolo, la particella è smemorata, se è grande ha una memoria perfetta). Dipende dai parametri caratteristici della turbolenza del PBL

Se si considera una delle tre componenti della fluttuazione della particella la funzione di Autocorrelazione è data da.

Se si pone (e ci sono ragioni teoriche per fare ciò):

 t R t t

M( ₂  )₁  

     ' '' ' t₂ R t u t₁ u

u    

Questa equazione è un’equazione vettoriale.

Per semplificare, studiamo ora solo la componente u della velocità della particella. Tale perturbazione ubbidisce a:

     ' '' ' t₂ R t u t₁ u

u  _u   

 u’(t₁) e u’(t₂) = fluttuazioni di u della particella rispetto al valore medio nei due istanti differenti.

Se la situazione è stazionaria, la deviazione

standard di entrambe è la stessa. Il valor medio di entrambe è zero.

 u’’ è una variabile casuale con valor medio nullo Ricordando che:

varianza di una variabile casuale somma di due variabili stocastiche indipendenti è la somma della varianza di entrambe,





Cioè:

 

2 2

'' 1 _{u u}

u R 

  

Tale relazione consente di determinare la varianza della distribuzione della variabile stocastica u’’ (a valor medio nullo). Tale distribuzione è Gaussiana è tutto quello che è necessario conoscere.

Le varianze considerate sono di tipo lagrangiano, cioè quelle della particella in movimento. Per semplificare si può porre che:

le varianze lagrangiane (necessarie al modello) risultano praticamente coincidenti con le varianze euleriane rilevate per le tre componenti del vento in modo euleriano nel punto occupato dalla particella e all’istante considerato.

Ciò si può ripetere per le altre componenti della velocità della particella.

Ciò che è importante è che:

 u’’,v’’,w’’ variabili stocastiche a valor medio nullo

 e con distribuzione avente varianze:² 













In pratica, le equazioni di moto per le tre componenti della velocità della particella sono:

     

     

t t w t t wt t

w

t t u t t v t t v

t t u t t u t t u

m m

m

















































' '

'

dove

     

     

t t R w t w t t

w

t t v t u R t t v

t t u t u R t t u

w v u











































'' '

'

'' '

'

'' '

'

Il significato delle velocità nelle equazioni precedenti è che nell’intervallo t = t₂-t₁ la particella possiede una velocità efficace con le tre componenti pari a quelle calcolate dalle equazioni.

Il nuovo punto della traiettoria della particella è quindi dato da:

     

     

t t  z t wt t t z

t t t v t y t t y

t t t u t x t t x

















































Questa è la nuova posizione di una delle particelle.

Se si ripete questo procedimento per tutte le particelle, si genera la traiettoria di tutte le particelle emesse dalla sorgente in esame.

STRUTTURA DI UN MODELLO MONTE CARLO Da questa Teoria  modello operativo di calcolo noto

come Modello Lagrangiano Monte Carlo così strutturato:

 (nascita di una particella): da una sorgente viene emesso un numero di particelle proporzionale al tasso di emissione della sorgente;

 (velocità delle particelle): una generica particella (nuova o vecchia) che al tempo t possiede velocità e posizione nota, nell’intervallo Δt avrà una nuova velocità efficace data dalle equazioni precedenti, per la cui stima è necessario conoscere:

• la velocità media del vento al tempo t+ Δt

• le perturbazioni al tempo precedente t

• le funzioni di autocorrelazione nella posizione in cui si trova la particella

• le perturbazioni casuali stimate estraendo tre numeri casuali da tre distribuzioni gaussiane a media nulla e varianza (parte Monte Carlo del modello)

     

 (posizione delle particelle): note le componenti della velocità della particella, è semplice conoscere la sua posizione.

 (ripetizione): questo procedimento si itera per tutte le particelle

Usando questo modello step by step, si genera l’evoluzione della traiettoria di ogni particella.

Per stimare all’istante t la concentrazione in un punto dello spazio dell’inquinante, operativamente si realizza quanto segue:

• centrato nel punto voluto si pone una cella di volume ΔV (di dimensioni abbastanza piccole)

• si contano le particelle che cadono nella cella (N)

• se ogni particella possiede una massa M_i il valor medio della concentrazione nella cella sarà



 ^N

i

Mi

C V

1

1

L’informazione meteorologica necessaria a questo modello deve essere sufficientemente dettagliata, in particolare è necessario:

• un campo di vento medio

• le tre deviazioni standard del vettore vento

• la stima delle tre autocorrelazioni

Questo modello può tener conto dell’orografia se:

• sono noti con buona precisione i campi meteo

• si utilizza al posto della coordinata z una coordinata terrain-following.

NB: Fin qui si è fatta l’ipotesi che la particella non possedesse bouyancy: in realtà in molti modelli è stato possibile tener conto di ciò, cosa che ha consentito la simulazione molto realistica della dispersione da ciminiere con fumi ad elevato galleggiamento.

0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 4 0 0 0 D i s t a n c i a d e l a c h i m e n e a ( m )

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0

Altura (m)

1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0

2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0

Confronto tra i risultati ottenuti con un modello a particelle e quelli ottenuti in laboratorio (sorgente con z_s/z_i = 0.067, nel SL).

Confronto tra i risultati ottenuti con un modello a

particelle e quelli ottenuti in laboratorio (sorgente z_s/z_i = 0.24 nel ML).

Confronto tra i risultati ottenuti con un modello a particelle e quelli ottenuti in laboratorio (sorgente z_s/z_i = 0.49 nella parte bassa del ML).

Se è noto:

=> il vento medio, la deviazione standard delle tre componenti del vento e la funzione di

autocorrelazione in ogni punto dello spazio e ad ogni istante di interesse (anche nelle situazioni ad orografia complessa)

 il modello a particelle produce una descrizione realistica del fenomeno della dispersione degli

inquinanti in aria.

Questo è probabilmente l’unico modello, attualmente, in grado di rappresentare realisticamente la

dispersione in condizioni fortemente convettive.

Presenta ancora qualche difficoltà l’inserimento nel modello di reazioni chimiche e fotochimiche.

Quella qui presentata è solo un’esposizione didattica molto semplificata.