Trattato di geodesia elementare Bordoni, Antonio Pavia, 1843 ETH-Bibliothek Zürich Shelf Mark: Rar 15103

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Trattato di geodesia elementare

Bordoni, Antonio Pavia, 1843

ETH-Bibliothek Zürich

Shelf Mark: Rar 15103

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Nota del cav. prof. Bordoni alla seconda edizione [...].

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NOTA

DEL CAY. PROF . BORDONI

ALLA SECONDA EDIZIONE

DELLA SUA GEODESIA

PAVIA

DALLA TIPOGRAFIA DI PIETRO B1ZZONI

1843 .

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Siccome fui interrogato da persone rispet¬

tabili, in quale opera mia, pubblicata da qual¬

che tempo , vi sia traccia del metodo , per trovare F area di un poligono, esposto nella osservazione decima della parte terza della seconda edizione del mio Trattato di Geodesia Elementare recentemente pubblicata ;

anco, se Jo conosca metodi per isciogliere questa pro- Posizioue e le sue analoghe, i quali diano re¬

sultati semplici, almeno simbolicamente , e trasformabili immediatamente nei riducibili a Numeri; ed io ritengo F origine di tali inter¬

rogazioni alcune replicate mie espressioni; così

Cr

edo a proposito la pubblicazione di questa

■ Nota, la quale non dispiacerà, io spero , ai

Ettori di essa segnatamente alle persone

suddette.

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iix;i9l bJ'X<f jiliaii cmì'i’ib aùuixfcviitea ^ xÌì^ jqóO ìli -qjdte ’jT cica L*!> auoìsibo 6b.in&i(S£ ,

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i . La regola esposta nella osservazione decima della parte terza della seconda edizione del mio Trattato di Geodesia per trovare 1’ area di un poligono espressa colla radice quadrata di una funzione algebraica razionale intera delle rette aventi i termini nei vertici di angoli di esso fu sempre da me ritenuta un caso particolare di quella esposta alla pagina decima della mia Memoria Sulla composizionedelle forze , pubblicata nell’ anno mille ot¬

tocento diciotto col Giornale di Fisica di Pavia, per trovare il momento principale di più forze espresso con rette aventi i termini , alcune in quelli delle rappresen¬

tanti le forze ed altre in questi e nel centro del momen¬

to ; giacche limitando le forze là contemplate a quelle

raPpresentabili colle rette lati di un poligono piano , ec-

Cetluati due prossimi , e dirette tutte pel medesimo verso , C(1 il centro del momento nel vertice dell’ angolo com¬

preso da questi due lati , risulta il momento principale di esse eguale al doppio dell’ area del poligono stesso : e fatto , la regola od espressione suddetta per 1’ area di 1,n poligono non è altro , che una metà di quella espo- sl:i aha pagina undicesima della citata Memoria, limitata,

6

in un modo puramente mentale , a quest ' ultimo sistema di forze.

2 . Nella medesima osservazione decima di cui si parla dimostro anco una relazione trigonometrica , che è un caso particolarissimo della seguente

( i ) - - sen.rsscn .tucos .(rs : tu ) = cos.rtcos .su — cos.rucos .st , dove r , s , t . u qui esprimono quattro rette terminate

ir , , sst , tt , , uu ,

ed ( rs : tu ) F angolo diedro compreso dai piani paralleli l’ uno alle rette rr , , ss , e F altro alle tt , , uu , , la quale in sostanza è quella dimostrata alle pagine nona c decima della stessa Memoria sopraccitata , cioè che in un quadrilatero sferico qualunque , il prodotto dei seni di due lati opposti , pel coseno dell’ angolo da essi com¬

preso è eguale al prodotto dei coseni degli altri due lati meno il prodotto dei coseni delle sue diagonali; giacché in qualsivoglia relazione tra linee o funzioni trigonome¬

triche di lati ed angoli di un poligono sferico si può surrogare , una linea trigonometrica di un lato qualunque colla analoga dell’ angolo compreso da due rette unica¬

mente parallele a queiraggidella sfera, che si dirigono ai termini di esso , ed una di un angolo colla analoga del- F angolo diedro compreso da due piani unicamente pa¬

ralleli ai lati del medesimo angolo sferico.

Se nella relazione ( i ) si pongano quei valori di cos.r £, cosati , cos.rzz , cos.st ,

che si ottengono colla notissima regola di Carnot me¬

diante i quadrilateri rettilinei

rr ,t,t , s,suu , , r ,ruu , , s,stt , , bassi la seguente

~ rr , . ss , scn.rs •^ tt , , uu , scn.tucos .(rs , tu ) eguale ad un sedicesimo del binomio

( tr , — rr , — trì ) (*us , + su , — ss , — uu , )

/ _ 2 _ 2 - 2 - 2 \ / - 2 - 2 - 2 - ! \

\ ur ,“4“ cu , — rr , uu , ) \ ts , s t .~■s s , tt , J ,

la quale comprende , come casi particolari , la prima e fon¬

damentale relazione da me esposta alla pagina undicesima della Memoria sopraccitata , c quella dal sig. Mainardi esposta alla pagina sedicesima della sua Memoria Sulle irasformazioni di alcune funzioni stampata in Pavia nell’ anno mille otto cento trenta due dal tipografo tizzoni .

3 . Ir attuale quistione è una di quelle costituenti il mio Trattato di Geodesia , che furono in esso per con¬

venienza trattate elementarmente , sebbene avrei potuto trattarle con mezzi superiori e con ciò conseguire risul - lamenti almeno simbolicamente più eleganti e semplici de¬

gli ottenuti , ed anco facilmente trasformabili nei riduci¬

bili immediatamente a numeri .

Per dare una prova di fatto di questa dichiarazione da me fatta più volte almeno implicitamente, credo bene di ritrattare qui la medesima proposizione c due altre affine ad essa.

Chiamerò , n il numero dei lati del poligono ; A ì1 area di esso ; 1 , 2 , 3 , - - , x , - - , n i vertici degli Cigoli di esso medesimo ; r x la retta , che ha i termini

«ci vertici 1 , .r ; ed r x,y quella , che gli ha negli x , y esimi.

E scriverò p x , e zx,y in vece di

r x tV+ i sen.r* rx+ , , ed \ f x ■+•ry — r *,y) j c si qui che altrove non esprimerò i limiti degli integrali

0 primitive definite , allorché saranno dessi facilissimamentc

sottintesi .

8

Ed anco fo osservare , che , la relazione trigonome¬

trica dimostrata nella medesima osservazione decima, cioè la ( i ) , purché le quattro rette rr , : ss t , tt , , uu t siano in uno stesso piano , ed abbiano i termini r , s , t , u nel medesimo punto , dà il prodotto

P* Py

-rx rx^ i . —--/> ry+.t- cioè sen.r* rx*- i sen.ry ry^. t eguale al binomio

cos. r* rr cos.;v + i — cos.r* ry+ 1cos. zy rx+ , , e però eguale al

%x ,y Zjr-t -l %x .yA - \ " X^ - t:y

Vx Vy fV-J-lf4-^1 eXTy.+.l rX+ 1Vy per cui ha luogo la relazione seguente

( 2 ) - - p X Py — Zx.yZx + ^ y ^ . i - Zx,y* . iZ X4 - i, s •

4 . Ora , essendo evidentemente

(3) - - 2 A = l x p x ed anco 2 A = 2ypy ì si ha

4 A * = 2 * p x • ossia

4 ^ ’ = 2 , 2yp x py ; e per tanto sarà

4 ^ * = 2 * 2 ^ ( z *^ Zar+ i,,y+ i Zjc, y+ iZx -Hi, y ) cioè

■A ==-~ì \! 'Z'x 2y (ZxjyZx^-ijy^-i Zx^.ljyZx;y^.ip Questa espressione dell’ area A in sostanza è quella da me esposta nella osservazione decima di cui si parla, e però una metà di quella da me stesso pubblicata nel¬

l’ anno 1818 pel momento principale di un sistema di forze , limi Lato, come si disse superiormente5 ma scritta in quest’ altra maniera ha il pregio di essere con regole ordinarie del calcolo delle differenze finite fa¬

cilmente trasformabile e riducibile ad altre espressioni

9 dell’ area del medesimo poligono , siccome farò vedere nel paragrafo seguente .

5 . Per semplicità scriverò

et, b, c , u , cj , c

ln vece di

r>* 5 j r'x+ T V+ r2a:+ i,rj> + +

° d anco

z , z f z,3 z 't 3 Àaj , Aè vece di

Zx.y 3 Zx+ i,y ) Zx>y + \ 3 Zx + i.y + i 3 Ax a 3 ^ y b \ e siccome si hanno

fln+ 1= r== 0 a ^n+ i == := = 0 cn+ <!y :==^ i,y -=: ^>y > Cx,n-\-i cx,i == ax , e però

i , y = = Z , ìy = Z Xj n + i == = Zx , l - ° j

per cui risulta 1’ integrale o primitiva (zz , — z z )

estesa come sopra dalle x — y -= 2 alle x = .y — n eguale alla primitiva stessa estesa dalle x —y = 1 alle x = j ' = re-f- 1 : cosi, per facilitare alcuni passi , che occorreranno qui sotto , ammetterò si la primitiva stessa ehc le sue dipendenti , i cui limiti non siano manifestati ,

°stese dalle x = y — 1 alle x — y = re + i . Essendo

2 z = a -hb — c , 2 Ax z — Aa — Ax c ,

zA y z = Ab — Ar c , 2AX A7 2 = Ax Ay c , e però

4 {zz ' — zz ) ossia 4 ( zAx Ay z — Ax z . Ay z ) eSUale a

( c — a — b ) Ax Ay c — ( Aa — Ax c ) ( Ab — Ay c ) cioè a

IO

cAx Av c — Ar c . Ay c -ì- Ay ( cAa — aAx c ) -1- Ax ( c Ab — b Ay c ) — Aa . Ab

ovvero a

cc ' — cc Ay( cd — ac ) -t- Ax( cb ,— bc ) — Aa . Ab , sarà

4 2>x ' ■" ",) eguale alla

2x2r( cc 'i— cc t-4- a Avc — a A^e' -f- bAxc — bAxc,— Aa.Ab) Ma le

2.XAx c , 2y Ay c , 2 XAa y risultando

T.r • £x377+ i - i • ^ rc4*i - : sono nulle : adunque sarà

42.r 2y (.zz —s's,)= 2a; 2r (cc)—cc ,) ,

vale a dire avrassi il risultamcnto singolare . iG A - = 2X2y ( cc ! — cc ,) . Cosi , per essere cXjX= o , c cX;V— Cy>x si hanno evidentemente

X+ l I

*" v ^>XC C, 2 i . v 2 x C C, , n + r n

2yl x cc , — 2 2 r 2 X cc 4- 2 X c.r » .r T4- 1 •>

e periamo sarà anco

77-f- 1 n « 4- 1

ZA - ^{. v}_{-" V}^y _{C * , ■}^v"‘.v —.r <^v - -5--" X 0 T,X-p !^{i v}

ove i limili delle vane primitive siano gli antecedenti . Scrivendo in vece di queste ultime primitive indicale i notissimi sviluppi di esse , si ha immediatamente quelle espressione di SA * , che fu rinvenuta dal sig. Mainardi con luti ' altro metodo di quello da me qui usato , come può persuadersi chiunque , leggendo il paragrafo decimo dell’ articolo secondo della sua Memoria sopra citata .

11

6 . V area A si può trovare espressa con una fun¬

zione algebraica di rette aventi i termini nei vertici di angoli del poligono e contenente una sola radice qua¬

drata di alcune di esse, anco senza ricorrere al quadrato di essa medesima.

Di fatto , col moltiplicare per p 2 i due membri della equazione (2) , si ha la

2 A pi — 2 .x jj , p x ^ n>a la ( 2) somministra

P * Px — 2 2,* S 3,*+ 1 Z 3,x32 ,a; + . 7 adunque sarà

Az = - ^ ( z^2jx23 ,1+ 1- Z%,xZ2,x+ l ) 5

2 pi

dove pi esprime evidentemente la r *3 — a *9)3 ) .

Vale a dire, 1’ arca del poligono sarà eguale alla T" ( 22,a:23,1+ 1- 2 3,XZ2, x + , )

espressione algebraica razionale ed intera delle rette sud¬

dette , divisa per la sola radice quadrata della r ’ » r ’3 — i ( f a 4 - r *s — r *„ 3 ) «.

'j . Questa espressione della A è anch’ essa semplifi¬

chile e trasformabile in altre equivalenti con regole or¬

dinarie del calcolo delle differenze finite.

Si ponga

2 2 2j i - — : r ~i - f - ll x , e 2 23 ,3: -- 7” 3 ~ t " Vx

cioè

r ,x — na2,* ossia ( rx - t- r 2,^ ) ( /v — r 2,a:) = Mj; ,

^ Z’2* r2 3.* ossia ( t * -+- 7’3,x) ( /’a: - V } e risulterà

2 2,x 23 , x + 1

1111quarto di

2a,*+iiZ3lX

12

( r 2 + u x ) ( r 3 -f- ^or+ i ) — ( r J3 + Vx ) ( r ’i + M*+ ' ) ossia di

r ’2 A Vx - ?**3 A Mi -+ - Ma: Vx + 1 ~ ~ Ox Mx + i 5

e conseguentemente la

( ^ jX ^ jX * I 225X4 . 1 23 , x )

sarà un quarto della

( vn — o2 ) r ’2 — ( un — m2 ) r ’3

-1- 2 ^Mx 0x4- i - OxMx+ 1) • Anzi , per essere

3

2 Mx Ox + 1 - M2 03 ■+ ■ 2 Mx t fx + 1 5 n

e 2 Ux Mx 4. 1 = M,j Vn— t ■+ " ^ Mx fx — 1 5 n

epperò la

2 ( Mx 0x 4- i - Ox Mx4- i )

eguale ad

M2 03 Mn 0n— 1 “1” ^ ( ^x + l Ox— 1 ) Mx j

nella somma degli n — 3 valori del prodotto

( l' i + i Ox— 1 ) Mx

corrispondenti alla x = 3 , 4 , - - , « — i insieme al bi¬

nomio

Ma 0 3 - Un Vn— 1

aerassi la somma degli n — 2 valori del binomio

MxVx+ i Vx

corrispondenti alla x — 2 , 3 , 4 , - - , m— i .

8 . Si chiamino . R la retta avente i termini comuni con una linea spezzata piana composta di n rette ; p -, (ì le coordinate rettangole del secondo termine sdella R r1' spetto al primo di essa medesima } lx il lato xesiw 0 della spezzata , cd ctx 1’ angolo da esso fatto colla ordi¬

nata p .

i3 Essendo

p = l x 4 cos.Xx, e q = 2* 4 sen.a* ,

S1 hanno

p a ijp /x ^ COS . « rCOS . OLy , -—— —(j ; ix SGIl »C^x SCI1»CCy

e pei'ò sarà

p * ■+■q* cioè R 2= 2*Ijr ^lx lyCOS. ( <Xj, - Cf.x) ossia

R. . ^ /x ly COS.lx ly •

ecco dimostrata o sciolta la proposizione decima della Parte terza della mia Geodesia .

g . Si chiami P x la perpendicolare condotta alla retta - - lx - - dal primo termine della R o del lato Z, , ed A area del poligono racchiuso dalla linea spezzata ami - detta e dalla retta R medesima .

Evidentemente si hanno

jé. - : ,*ixlx Px , Px - i 'r ly Seri,ly lx ,

ove la primitiva rispetto alla x sia estesa dalla x = -i alla x = n -t- i , e quella rispetto alla y dalla y — i alla Jr= Xì e però sarà

^ ix lx ^y ly sen. ly lx ossia

^ lx ly sen . ly lx *

ed ecco dimostrata anco la proposizione ventitreesima

‘klla stessa parte terza anzidetta .

io . Con ripieghi analoghi a quelli usati qui sopra Sl possono semplificare altre proposizioni si di Geodesia di altri rami di matematica : semplificherò quella espo- s*a nella mia Memoria citata e di cui si è parlato sopra , C1°e troverò il quadrato del momento principale di n for- Zej per rispetto ad un punto dato , espresso con una finizione algebrica razionale ed intera di rette , che ab-

biano i termini nel eentro del momento o nei termini stessi delle rette rappresentanti le forze.

Si chiamino, tx il momento della forza x esima , il quale eguaglierà il doppio dell’ area del triangolo avente per base la retta F x rappresentante questa forza ed H vertice nel centro dei momenti } p Xl sx i termini primo e secondo di questa retta , ed anco le distanze di essi dal centro o punto dato } p xsx la reciproca distanza di questi termini } ed j x , g x , h x i coseni degli angoli fatti da una retta perpendicolare al piano del triangolo anzi¬

detto con tre rette fra loro perpendicolari passanti pel centro dei momenti } in ultimo chiainiiisi

« , b , c , d , A , Bj C , D ordinatamente i quadrati delle rette

p Xj J ) y , SX , Sjr , p Xp r , S x Sy , p X Sy , Sx p y .

Siccome le somme dei momenti di tulle le forze per rispetto alle tre rette fra loro perpendicolari e passanti pel centro sono

tanto 2 t xJ x , ~ g'c , 2 tx ìi x quanto 2tyf y , 2t y g y , 2t y k y -,

così la somma dei loro quadrati cioè il quadrato del momento principale sarà

{fxfy + gx gy *+"hxhy ) tx . ty ossia

j t X * ty COS* t X ty •

Ma tx . ty = p x •Sx *Py •^Sy sen.p x sx scn.py sy , e per la relazione ( i ) si ha

scn.p xsx sen.p y sy cos. tx ty eguale al binomio

COS. p x p y COS. S x S y COS•p x Sy COS. / ->y Sx ",

adunque il quadralo del momento principale sarà ^{egua le} ad

( ci-4- b — A ) ( c - t- d — B )

— ( a -hit — C ) ( b -hc — D ) e però ad

AB — CD— (a — c)(b— d)f

~ì- a ( D —B ) -t- c ( C — A ) ! }

+ b ( C — B ) -i- d ( D — A ) \ 0 conseguentemente il quadrato stesso eguaglierà anco

‘- 2 , ^ (AB — CD ) — ì ( Ma — c ) y { a ~y {D — -B) + c2 y (C— At) \ .

Anzi , per essere A x, x = o , B x, x = o , A x,y — Ay ,x

Bx.y — By.x, e Cx,y = I\ ,)X,

vece della primitiva 1X\ ( AB — CD )

S1 potrà usare evidentemente il binomio

ai , L ( AB — CD ) — ì x C \ x .

n n + I

Se le n forze fossero rappresentabili colle n rette lati di un poligono rientrante e dirette pel medesimo verso si irebbero

C* = fl*+ I , -^ i + i,y+ i ) C—-A %1y-l-i , e D - '1%4i .y Per cui le primitive

2*(a- c) , (D - B) , 2y (C~ A)

r,sultarebbero

- }- a , , - A Xri. tln^. t -+ -A X^ I, 1 , A Xìn+ . \ - A x >t

C1°è nulle ì e per tanto il quadrato del loro momento P' nicipale si ridurrebbe

ìl , Z, ( AB - CV)

« oè iu|

- y {Ax .y Ax + i.yA X] y+ l ) »

espiessieue ind’ptndenle dalle distanze delle lorze dal

I V

- y

i6

centro del momento , come dev’ essere } giacche in que¬

sto caso esse equivalgono a due forze parallele opposte ed eguali fra loro .

La espressione (4) del quadrato del momento prin¬

cipale di un sistema qualunque di forze per rispetto ad un punto in sostanza è quella da me esposta nella Me¬

moria sopra citata , ma scritta in quest ’ altra maniera ha anch ’ essa , come si vede , il pregio di essere tratta¬

bile e trasformabile facilmente in altre con regole ordi¬

narie del calcolo delle differenze finite.

11 . Terminerò questa nota col trovare effettivamente anco il momento principale minimo , del sistema di forze contemplato ^al principio del paragrafo antecedente , espresso con una frazione , il cui numeratore sia una funzione al- gebraica razionale intera , ed il denominatore la radice quadrata di una funzione analoga , ambedue delle sole rette rappresentanti le forze e delle aventi i termini comuni con queste medesime.

Si chiamino , S la somma algebraica dei volumi delle

—- ^ piramidi triangolari aventi ciascuna per due spi-

2

goli opposti due rette rappresentanti forze , V x,y il volume di quella di cui due spigoli opposti sono le rette Fx , F y rappresentanti le forze x , y esime ; e come sopra p x il primo termine ed sx il secondo della stessa retta F x • Cosi , le funzioni d’ x , che sono i quadrati delle otto rette

P >Px , p , sx , s ,p x , s , sx -, p *p x , p *sx , s2p x , si indicheranno ordinatamente con

a , b , c , d 5 e , j ’, g , h $

e le simili funzionid1y cioè i quadrati delle otto rette

«7

•ndlcheransi con

i , k , / , » , />, /'•

In ultimo si scriveranno

A , B , C, P , P , G}

H , I , L , M , iV, P

or dinatamente in vece delle dodici espressioni seguenti

b—fl+ c—cZ , è —a -i- g-—h ì

b — a 4- e —f ì c — a , g — a , e — a 5

A:— m , A-— r , A— t — / , i — <7, i — n.

Siccome il minimo momento principale eguaglia il se¬

stuplo della somma S diviso per la retta avente i ter¬

mini comuni colla linea spezzata composta di n rette eguali e parallele rispettivamente alle

f . , P 2 , F llh

ed il quadrato di questa retta , per una proprietà già Usata, eguaglia la ^somma delle tre primitive

2X F x F y ax a? , 2X2y F x F y bx br , 2X2y Fx Fy Cx Cy

cioè la sola

2x 2y dy 4 “bxby 4 *Cx Cy}F XFy , dove a x , bx , cx esprimono i coseni degli angoli fatti dalla F x con tre rette fra loro perpendicolari } e però è desso eguale alla

2X2y F x • F y cos.F x Fy ,

°ssia , per la relazione di Carnot , alla - 2^ 2y ( p xsy +

cd anco alla seguente

Ì2X2y p x Sy — 2Xi2éy\ p XPy “1*SXSy ) , purcliè quest ’ ultima primitiva rispelto all’y cominci colla

4- 1 • c0si si conoscerà la espressione richiesta del

_ __ a - 2 - -*V

Px Sy - P *Py Sx Sy ) ,

i 8

minimo momento principale , allorché si conoscerà la op¬

portuna per la somma S .

Osservisi , che , Ira i tredici angoli 12 , 23 , 45 , 56 , 14 , 15 , 165 24 , 25 , 26 , 34 , 35 , 36 ,

compresi da sei rette 1 , 2 , 3 , 4 5 5 , 6 comunque si¬

tuate nello spazio , ed i due

( 12 , 23 ) , ( 45 , 56 )

compresi,il primo dai piani paralleli l’ uno alle rette 1, 2 e 1’ altro alle 2, 3 } ed il secondo dai due paralleli l’uno alle rette 4 ? 5 e 1’ altro alle 5 , 6 , ha luogo la relazio - ne seguente

( 5) - - sen . i2sen .23sen .45sen .56sen .( i2 , 23 ) sen.(45 ,56 ) eguale a

( cos.26 cos.35 — COS.25cos.36 ) cos. 14 ri- ( cosa5cos .36 — cos.16cos.35 ) cos.24

4 * ( cos.16COS .25 - COS .

COS .26 ) COS .34.

Essendo

S V }

purché la primitiva rispetto alla y si estenda dalla y =zx -t- i all’/ '-— ra+ i , e quella rispetto alla x dalla

x = i all’ xz = n -4- 1 , si ha anco

S . F h^ 2x 2yF h, F Xtr:

e siccome Fi ,* è il prodotto

dl * P >s. -p . s, .p ,p ,

per sena ,/ ), s >sen.s lp lp , sen. ( s lp t s ,/ >,/ ),, ) , e F X;y è quello

di px $x • Px sy . p x py

per sen. sx p xSy sen. sx p x py sen.( sx p x Sy } sx p x Py )?

così , per la relazione (5) sarà S . F ì}2 eguale alla pri¬

mitiva 2 X 2y del prodotto

di / ) , • / ) , J2 . /) , Pi . p x Sx . p x Sy . p x Py

*9 per ( cos.26 cos.35 — cos.25 cos.36 ) cosìx4

>4-(cos.36cos. 15 — cos.35 cos. 16 ) cos.24 -4- ( cOS.16 COS.25 -- -COS. I5 COS.26 ) COS.34

Perchè si intendano colle rette 1, 2, 3 le p , s t , p ts, ~

P>P*, e colle 4, 5, 6

tre px sx, p * sy , p xpy . Ma

* nove quadrilaterirettilinei

pxp 1 SX, pxp i ^2 $x 5 /?t p ?. sx pxp 1s , v2 .sy , pxpi p2 sy -,

Px

Pi Sipy ,

Pi S2py , p xp i p 2py

Per la solita relazione di Carnot danno ordinatamentele n°ve equazioniseguenti

A = npi Sy . pxsx cos.i4 , B — 2pi s, i px

cos.24 ,

/ ) - )- H = 2. pi Si . p x Sy COS. l5 ,

E -+- J = 2pi S2 . px

COS .25 , G -4- Z — 2/>Ip2 . pX

COS .35 }

E + N — zpx s2 . px py cos.26 , D -\- G~ 2p t p2 . pxpy cos.36 $

5(lunque sarà 288 eguale alla primitiva2X 2y di ( (G-hL ) (E + N ) — (E -+- I ) (G-hP ) ) A

+ ( {D + H ) (G+ P ) — (G+ L) (D + M) ) B

•-+-( (£ + I )(D + M )— (D + H ) (E -hN ) ) C ,

°ssia a quella della somma deitre binomj ( # — M ) (BG — CE ) -yA ( LN — IP ) , ( I - N ) {CD - JG ) + B (FIP - LM ), ( L — P ) ( AE — BD ) + C {IM — HN ).

E siccome i primi tre termini di questi binomj sono formaticolle y , x , come i tre secondi sono reciproca¬

vate formati colle x , y , ed il valore corrispondente ade della somma di essi è evidentementezero ,

no

cosi avrassi -

288 SVxjì . eguale alla sola quantità

2, ( A (LN —IP ) -\- B (HP —LM ) + C(1M—HN ) ) , ove le primitive siano estese dalle x = y = 1 alle x —y — n + 1.

Ora , ponendo in questo trinomio in vece di A , C , // , / , L , M , iV, e P le espressioni con essi ris¬

pettivamente rappresentate , si trova facilmente , che é desso equivalente ad R ^somma dei quattro prodotti seguenti

( a — b ) ( (p — r ) l + ( m—p ) q -h ( r — m ) n ) ì ( c—d ) ( ( r— p ) i + (p — k ) q -h ( k — r ) n ) , ( e—/ ) ( (m— r ) i -h ( r — k ) / -+- ( &—m ) q ) , (g—h ) ( (p —m) ì + ( k — p ) l - 4- ( m— k ) n ) ì i cui primi fattori sono funzioni della sola jc , ed i se¬

condi funzioni della sola e per tanto sarà 288 SV \?

eguale alla somma dei prodotti

2 * (a — b) . 2y { (p — r ) l + ( m—p ) q ~h ( r — m ) n ) , 2 X (c— (I ) . Ij , ( ( r —p ) i + (p — k) q + ( k — r ) rc) , 1X( e—/ ) . ( (m— r ) i + - ( r— k ) l -+- ( &—m) q ) , (g — h ) . 2y ( (p — m) i + ( k—p ) l •+• \ m— k ) n ) , ove i limiti di tutte le otto primitive siano 1 ed 71+ 15 ovvero eguale al doppio della

2X R ì

purché la primitiva rispetto aliarsi estenda dalla_j = x -4- 1 alla 1 , e poscia quella rispetto alla x si esten¬

da da x = i ad x = n .

Quindi la espressione richiesta pel minimo momento principale sarà la frazione avente per numeratore la qud ' rantottesima parte di uno di questi due ultimi risulta- menti , e per denominatore la radice quadrata del pr0' dotto dell ’ esposto valore della

2X2y F x . Fy cos. F x Fy

21

per 1’ Euleriano di V \ ìt formato colle rette

P I s I y p 2 «?2 5 ^ 2 ^ ^ 2 J 1 j^ 2 J ^ I >$2 •

12 . Quantunque la occorsa relazione ( 5 ) si possa

desumere da alcune di poligonometria sferica ed anco da una dimostrata dal sig. Mainardi nella sua Memoria so¬

pra citata col dare ad esse estensioni analoghe a quella di cui mi valsi per desumere la ( i ) da un’ altra mia re¬

tativi ad un quadrilatero sferico, ciò non ostante , non voglio ommettere di essa la dimostrazione seguente ap¬

poggiata specialmente ad una notissima proposizione del taagrange.

, z = nix \ y = nx , z = rix ‘, Siano y = ‘

y — pcc , z = p x , y — qx , zz=zqx \ y — rx , z = r' x , y = sx , z = s'x

le equazioni di sei rette passanti per la origine delle Coordinatex , y , z rettangole , e parallele rispettivamente a quelle dianzi denominate i , 2, 3 , 4 ? 5 , 6 .

Si chiamino a, /3, u , o ordinatamentei quattro prodotti sen. 12 sen. 23 sen. ( 12 , 23 ) ,

sen. 45 sen. 56 sen. (45 , 56 ) ,

+ m'3) . v/(I •+■n*+ re’) - Vi1+ P*A-P ‘) i V(i + </’ + </ *) . v/(I + Vi1 -t- -y*+ a'1) 5

ed

a ì b , c -, d , e , f 5 g-, /i ,

. d , b', c‘h d', e , f h g , h', l

1 diciotto seguenti

mq , /wr, nq , nr , re* ; pq , pr , m'i/', /«>', iraY$ «V/, rc'r , »Y $ /A/ , pV , / >Y } e si ponga

Q = e + / —f — h , Q'= e ■+■l'—f — h! ,

R —J -*- g — d— 7, K= f + g - J - t ,

V ^ l + w - fh '- hf , N = /g '+ fg — dl —lil ,

e Pz= dlì + hd '— eg — hè \

32

ed osservisi, che, pei significati delle

Q, R, s -, q , r , s

risultano identiche le due equazioni

(Gì ) - - Q -t- R -+- S = o , Q' h- R -f- S = o $

(7) - - ae — bd , aj == cd , ah = bg ,

al — cg , bf = ce , bl — ch , de '= b'd ì df = .c </ , a'h'—b'g\

dl '= cg , bf = c' e ì b'l'= c'k'7

(8) - - dh = eg , dl = fg , el = fh ,

_ <# = / *'

sebbene z/zeez’ di esse siano conseguenze delle altre otto 5 e che le (7) riducono identiche le quattro

(9) - - « Q -(- £ / ? -+- e 1S'= 0 , dQ + bR ^- c'S = o ì

aM ■ +■bN ~h cP = o , aM -hb'N -t- c'P ~ o •

A , B , C ; Z>, Z , Z ; G, H , Z

i + « + a', 1 -+- b ò', i + c + c' ; 1 -J- + cf, 1 -t- e -t- e' , 1 -t-.y -f- ^ 1r + ZH- Zz' , I 4 - / + /' ; ed osservisi anco che i tre quattrinomj

E + L — F — // , Z -t- G — Z>—Z , D + H — E — G

Q + Q1, R + R , S + S -,

e che per la terza e sesta equazioni (8) si ha

M= (e + e) (l + l ) - (f + f ) (h + fi) ,

e però

M = .(E — 1) (Z — 1) — (Z — i ) (H — 1)

cioè 23 ( io ) - - Q 4 - Q14 - M — EL — FH ,

e che per le altre quattro equazioni (8) si hanno ( io ) - - R 4- R 4 - Nrr=.FG — D L ^

S + S 4- P — DH — EG .

Ora la regola di Lagrange, per trovare il volume di Una piramide triangolare espresso per le coordinate dei ' ertici degli angoli di essa , dà immediatamente

« = —- ( m (ri — p ) + n (p ‘— m ) + p (m — «') ) ,ic

P= ~ ( q ( r — s') -hr ( s '- (j,) + s ( ci'— r') yi

e però sarà

«!ìuv= mrj(rir'-bp 's'— ris—pr ) 4- ecc.

cioè

*$in>= a(é -\- l‘—f —Jì) -bb{/ '-bg —d —l ) + c(d -hk '—e'—g ) -t- d(c'-hh '~ d ~ l') -he (a 4-l'- c'- g ) 4-/ (6'4-g ~ d- K) 4- gip 4- f —c —e') 4-h{c 4- d ~ d —f ) + l (a + e'—b'—d ), ossia

' fiuv^ a'Q + b'R+ c’S-haQ + blt + cS -hM+ N + P ,

fazione , che per le identiche (6), (9) equivale alla k(ìuv = ( 1 + s 4- a ) (Q 4" Q + M ) -\~

( 1 4 - 64 - b') (R -b- R -hN ) -h ( 1 + c + e' ) ( 6’4 - S ' + P ) , e questa per le ( io ) alla seguente

^ ^ ~ - {A (EL—FH )4-B{FQ—DL)4- C(DH—EG)) ,

quale è appunto la stessa relazione, che si voleva di¬

mostrare-, giacché le quantità

— uv AEL , — uv AFH , - - -

esprimono i prodotti

cos . i4cos . 25 cos, 36 , cos. i4cos , 26cos . 35 , - - -

a4

Cosi , sebbene la relazione S = 2X2y F Xly

sia notissima , non ostante credo bene di non ommettere la sua dimostrazione seguente appoggiata ad uno dei ri¬

pieghi replicatamente usati qui sopra .

Si ritengano i significati delle F x , tXÌ f Xì g XJ hx usati nel paragrafo decimo $ e si chiamino ax , bXy CX * coscniw^ gU angoli fatti dalla F x colle tre rette fra loro perpendicolari occorse nel medesimo paragrafo decimo; e risulteranno

2xaF , 2x bF , 2xcF

le somme (Ielle componenti , di tutte le forze , parallele a queste tre rette , e

2yft , 2y gtj 2y Jlt

quelle dei loro momenti per rispetto alle medesime tre rette : e la espressione ordinaria del numeratore della frazione rappresentante il minimo momento principale ri¬

sulterà

2X2y (axfy H- bx gy 4- cx hy ) F x ty e però

■ 2*

Fx

seri.(FX , ty ) ,

ove ( F x , ty ) esprime l’ angolo fatto dalla retta F x col piano del triangolo di area ty . Ma la somma algebraica

F xty sen. (F x , ty ) -4- Fy tx sen. (Fy , tx ) è eguale a 6Fxj \ adunque il numeratore anzidetto sarà

>62*2, ^ ,

purché la primitiva rispetto alla y cominci con y = x Jr i : appunto come si è ammesso nel paragrafo undicesimo-