Trattato della misura delle fabbriche Alberti, Giuseppe Antonio In Venezia, 1757 ETH-Bibliothek Zürich Shelf Mark: Rar 1282

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Trattato della misura delle fabbriche

Alberti, Giuseppe Antonio In Venezia, 1757

ETH-Bibliothek Zürich

Shelf Mark: Rar 1282

Persistent Link: https://doi.org/10.3931/e-rara-13411

Capitolo III. Della misura della superficie della sfera e sue parti.

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56 Trattato della Misura

CAPITOLO III.

!'Della misura della superficie della sfera e sue parti -

Problema I.

Data una sfera , rilevarne la sua superficie.

S

122 ,

di 8 , mediante questo diametro trovasi la super¬

ficie del circolo fatto da esso secondo le regole inse¬

gnate , e sarà piedi quadrati 50 j , questa superficie si quadrupli , e il suoprodotto 201 j sarà i piedi qua¬

li di cui è capace Jadata superficie sferica ABCD.

Ovvero trovasi , mediante il diametro AB piedi 8 la circonferenza del circolo massimo della sferra fatta sopra esto diametro che farà 25 j questo moltiplicasi per lo stello diametro piedi 8 , che avremo nel prodotto piedi quadrati 201 ~ misura della superficie sferica ABCD come sopra.

Oppure facciasi il quadrato del diametro 8 , che è 64 , questo moltiplicasi sempre per 3140 il pro¬

dotto 2.0096 dividasi sempre per 100 , mentre il quoziente 200 dà la superficie della sfera , di pochissimo differente .dalla trovata di sopra.

Problema II.

Dato qualsivoglia segmento di sfera , manifestare la sua superficie sferica.

Se il segmento fosse un Emisfero , cioè la me¬

tà della sfera , come 1’ ABC Figura 123 , misurasi il diametro AB e sia piedi 12 ; e mediante esso il circolo ABDE che farà piedi quadrati 113 f, o perché dicemmo di sopra nel Problema antece¬

dea-

US J

iniiiiiimimiin.iijiiiiHimiMiiiijU’nj Viilv.lìiiiimv.'

iwim's

delle Fabbriche 57 dente che tutta la superficie sferica si ha quadru¬

plicando il detto circolo , ne viene per tanto che se ora lo duplicheremo darà piedi quadrati 226 K per la misura della superficie semisferica ABCDE.

Se poi il segmento è minore dell' Emisfero, come s ABC Figura 124 , conducasi dal punto di mezzo A dell ’arco BAC se retta AB ali’estremità de] circolo della base del segmento , questa linea misurasi , e sia , verbigrazia , piedi 5 , questa mi¬

sura raddoppiata cioè io pigliasi come diametro di un circolo , e rilevasi se sua superficie , che sa¬

rà piedi quadrati 78 * , e tanta è la cercata su¬

perficie del dato segmento ABC.

Avvertimento

Se non soste facile avere in pratica se misura della AB , ma fosse più facile come ordinariamen¬

te succede avere se misura del diametro .BC , e dell’

altezza del segmento AD, colle suddette due li¬

nee o misure AD e BC si può venire in cogni¬

zione della AB , mentre , se verbigrazia BC foste piedi 8 e AD piedi 3 , facciasi il quadrato del¬

la metà della BC cioè di 4 che è 16 , e ad esso aggiungasi il quadrato dell’ altezza AD che è 9, dalla loro somma 25 estratta la radice quadrata 5 , questa mostra come la linea cercata AB è piedi 5.

Problema III.

Data una porzione disuperficie sferica compresa fra due circoli paralleli , rilevamela sua capacità.

Sia data se porzione sferica ABCD Figura 125 . compresa fra i due circoli paralleli AB e CD, tro¬

vasi

5Z Trattato cella Misura

vasi il diametro EF di tutta la sfera , che sia piedi io , misurasi inoltre la parte del diametro EF che viene intercetta dai due piani dei circoli AB e CLP cioè la GB, che sia piedi b , indi me¬

diante il trovato diametro piedi io , rilevasi la superficie della intera sfera fatta sopra tal diame¬

tro , cioè della sfera ABgDpcA , che farà piedi quadrati 314 f , questi moltiplicatisi per la GB piedi Z e il prodotto § 42, f dividasi pel diametro EF piedi io che il quoziente 94 7- fono i piedi quadrati , di cui è capace la data porzione ABCD ricercata dalla superficie della sfera._\

Avvertimento.

II modo di trovare in pratica il diametro EF non è così ovvio , perciò , quando il circolo mag¬

giore CD non fosse il circolo massimo della sfera, nel qual caso il suo diametro cd è io stesso che quello della sfera , si operi così . Pali ' estremità di un circolo ali’altro della data porzione ABCB conducasi una retta come la AC, che sia per quan¬

to si può in un piano perpendicolare ; nel mez¬

zo K di questa linea AC, misurasi perpendicolar¬

mente ad essa la JK, che sia, verbigrazia , piedi 2 , e la AC piedi 8 , sicché la metà CK , JKA di essa AC saranno piedi 4 : ciò avuto facilmente si troverà il diametro del circolo massimo della sfe¬

ra , e per conseguenza il diametro O asse di es¬

sa , servendosi del Problema VII . del Capitolo V, della prima parte , cioè quadrando la metà di AC che essendo piedi 4 , fa 16 , e questo lò di¬

viso per la IK piedi 2 , il quoziente 8 , aggiunto alla stella JK piedi 2 , da piedi io , misura del diametro del circolo massimo della sfera , e per con*

delle Fabbriche . 59 seguenza il diametro o asse FF di ella sfera

come volevasi,

Problema IV7

Dato un yelo di sfera compreso da quattro semi- circonferenze di Circolo uguali mamfejìure la sua superficie,

Sieno i quattro femicircoli uguali ABE , BFC f CGD, DHA Figura I2 <5, j quali terminino il Ve¬

lo o porzione di superficie sferica AEBFCGBHA, conducasi la diagonale ^AB ovvero AC , la quale si misuri , e sia, verbigrazia , piedi li se ne pren¬

di la sua metà , che sarà piedi 6 § , mdi misurasi uno dei diametri de’quattro suddetti femicircoli, come BC , e sia piedi 9 , da questo detraggasi la metà della diagonale trovata di sopra piedi 6 §, e serbasi il rimanente piedi 2 f , di poi calcolasi la circonferenza di quel circolo che produce il diametro di piedi 12 * della diagonale ^AC ovvero -Lv , che iarà piedi 40 fj questo moltiplicasi per li p edi serbati 2 | ; e il prodotto piedi quadrati J05 è la superficie ricercata del Velo o por¬

zione di superficie sferica AEBFCGBHA.

Avvertimento.

Se non si voleste , o foste incomodo misurare in pratica una delle diagonali ^AC ovvero b -B, ciò non ostante si può avete colla fola misura del la¬

to del quadrato AECD mediante il Problema III.

del Capitolo II , della prima parte , mentre se si quadrerà detto Iato , che per tster 9 il suo qua¬

drato è 81 , che raddoppiato fa 162 , dal quale 162 estratta la radice quadrata darà piedi 12 f misu¬

ra di ogn ’una delle diagonali AC e BD, Pro-

Trattato della Misura

Problema V.

60

Manifestare la superficie di un Velo sfericocompri*

so , o terminato da quattro semicircoli de'quali gli

opposti fieno fra loro uguali .

Sieno i quattro semicircoli ABE , BFC , CÙD S DHA Figura 127 , i quali terminino il velo sferi¬

co AEBFCGDHA , e dei detti semicircoli gli op¬

posti AHD , BFC sieno uguali fra di loro , e gli altri due AEB , DGC sieno , verbigrazia , i mag¬

giori dei due primi ,ima fra loro uguali . Misurasi una delle diagonali AC , ovvero BD , chesia , verbigrazia , piedi 15 , sottraggasi uno dei diametri di uno dei due semicircoli opposti come AB . ovvero DC , che sia verbigrazia , piedi 12 dalla diagonale piedi 15 , a il residuo Z dividasi per metà che darà pedi 1 Quadrasi tanto questo 1 * quanto la metà del dia*

metro AB ovvero DC che è piedi 6 , sommansi insieme i suoi quadrati e faranno 38 \ da questo numero estraggasi la radice quadrata che sarà pie»

di 6 sg , preso questo come raggio di un circo¬

lo e calcolata la superficie di un tal circolo , sa’

rà piedi quadrati izojy -g , raddoppiasi , e sarà 240 f ~ f il quale si tenghi a parte . Facciasi lo stesso rispettivamente ai diametri degli altri dué semicircoli opposti , cioè sottraggasi uno dei detti diametri AD, ovvero BC, ciré sia piedi 9 dalla diagonale piedi 15 , e il residuo <5 si divida per metà , che darà 3 ; quadrasi tanto questo 3 , _quan¬

to la metà del diametro AD , ovvero BC , cioè piedi 4 | , e sommansi insieme i loro quadra¬

ti che faranno 29 f dal quale est rata la radice qua-

Fa . q , 6 e

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P | 12,7

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ZLM WM ÂOŽjš;

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celle Fabbriche . 6 t quadrata sarà piedi 5 — , preso questo come rag¬

gio dì un circolo , e calcolata la superficie di un tal circolo ; sarà piedi quadrati 93 ? raddop¬

piasi questa, e da 186 -, *~ , questo numero ^uniscasi col 240 , che di sopra si tenne a parte , e fa 32,7, tralasciando la frazione . Finalmente calcolasi col¬

la diagonale piedi 15 la superficie dell’ intera sfe¬

ra fatta sopra tal diagonale come suo diametro o asse, che sarà piedi quadrati 707 f , da questo sottraggan !! i^piedi 327 trovati di sopra , e il rima¬

nente 380 j , si divida per metà , che ne verranno piedi quadrati 190 per la superficie del dato velo sferico AEbFCGDHA ricercata.

Avvertimento.

Qui pure , come avvertimmonell ’ antecedente Problema , si possono avere le diagonali senza mi¬

surarle , mediante il Problema VII del Capitolo

II.

parte,

misure

dei due lati ^del Parailelogramo , cioè ^le AB e BC , delle quali essendo la prima piedi 12 e Valtra piedi 9 , fatti i quadrati di questi due numeri o misure , e sommati insieme , e dalla loro somma 225 estratta la radice quadrata , ne verranno pie¬

di 15 -misura d’ ogn ’ una delle diagonali ricercate.

éi Trattato della Misura

Problema VI,

Misurare i quattro triangoli sferici , ché _rimango*

no dopo aver levato dal Velo sferico pollo so¬

pra un quadrato , quella parte di esso Velo, ché compone un segmento sferico, la cui base circolare tocchile sommità dei quattro semicircoli che ter*

minano tutto il velo sferico,

Sia il quadrato ASCIO Figura 12Z , sopra del quale sia il Velo sferico AEBFCGDHA, e da esso sia levato il segmento sferico compreso dalla base circolare EFGH^ la quale tocchi le sommità dei quattro semicircoli AEE , SFC , CGD , DFlA } onde ne rimangono i quattro triangoli sferici u- guali AFlE , EbF , FCG , GDH. Per rilevare la superficie di tutti i suddetti triangoli sferici , e per conseguenza di ogn ’uno separatamente , _ope¬

risi come siegue -

Intendasi compito tutto il Velo sferico pollo sopra il quadrato ABCD, e mediante il Problema IV se ne rilevi la lua superficie,- onde posto, co¬

me allora , essere il lato del quadrato ABCD piedi 9 la superficie di esso velo sarà anche come al¬

lora piedi quadrati 105 -—?j indi dalla diagonale DB piedi 12 ^ levasi il Iato del quadrato o sia uno dei diametri dei semicircoli , cioè’ piedi 9 e il re¬

stante piedi 3 | dividasite piedi i | sarà _salsezza perdel segmento sferico, ilmetà,che il quozien*

quale manca a compiere finterò Velo, e il dia¬

metro della' base di esso segmento è lo stesso lato del quadrato ABCD, ovvero uno dei diametri del quattro semicircoli , cioè piedi 9 , onde avremo

quan-

delle Fabbriche * 63 quanto basta per rilevare la superficie dì esso se¬

gmento mediante il Problema II , cioè quadrando piedi 4 | metà dei piedi 9 , e anche quadrando I:

altezza del segmento piedi I 4 e sommati questi due quadrati , e dalla loro somma estradane la ra¬

dice quadrata , e presa essa per un raggio di cir¬

colo , il quale calcolato ne viene piedi quadrati 74 per la misura del segmento sferico , perciò levato questi da tutto il Velo sferico piedi qua¬

drati 105 yjj il, rimanente piedi quadrati Izo 414 , farà la misura dei quattro triangoli sferici AHE , EBF , FCG, GDH , come cercavasi * Se poi si volesse sapere la Capacità separatamente di ogn’

uno di essitriangoli sferici , dividansi i piedi qua¬

drati 30 , per 4 , mentre il quoziente piedi quadrati 7 mostra la capacità d’ogn ’ uno dei triangoli sferici , come bramavasi.

Corollario.

Quasi in ogni Chiesa trovatisi dei segmenti di sfera , i quali compongono le Tribune ed altre volte per ornamento . Gli Emisferi , e gli altri segmenti minori di sfera fono più degli altri fre¬

quentati , e chiamatisi da Pratici Catini , e quan¬

do questi hanno nel loro mezzo un lanternino per maggior bellezza , la loro superficie viene ad essere una parte della superficie sferica comprela fra due circoli paralleli , come quella del proble¬

ma III . Quanto poi ai Veli o Volte chiamate dai Pratici Volte a Vela queste fono srequentiffime ancora nelle case ordinarie per la bellezza e so¬

dezza loro . Nei precedenti Problemi IV e V , si è data la regola dì misurare i Veli posti sopra dei quadrati o dei rettangoli , ma se accadesse mi¬

surare una qualche Volta a Vela , la quale non fosse

64 Trattato della Misura

fosse sopra quadrato , o un rettangolo , ma sopra qualche altro Poligono , come , verbigrazia , fosse la Volta di un Gabinetto esagono regolare , come mostra la Figura 129 , la regola èia stessa, men¬

tre condotta per uno degli angoli opposti dell' e- sagono o punte della volta una diagonale , come la AB, questa sarà il diametro di tutta la sfera, poi si misurerà la distanza perpendicolare da un lato ali' altro del Poligono , verbigrazia , la CD, e questa levarla dalla diagonale , e il residuo div¬

iso per metà dal!' altezza dei segmenti sferici, che sarebbero sopra il lato del poligono , onde avremo il diametro della base , e salsezza del segmento, mediante le quali si avrà la misura di una delle superficie di questi segmenti adoperando la regola insegnata nel Problema II , questa poi moltiplicata pel numero dei lati del Poligono , e il prodotto levato dalla superficie di tutta la sfera che si farà calcolata , sopra la diagonale AB come diametro o asse di essa ; e il residuo diviso per metà darà la superficie della Vela ricercata.

Se poi il Poligono descritto dalle muraglie , su le quali è posta la Volta a Vela , soste irregola¬

re , nel qual caso bisogna che gli angoli di esso Poligono sieno nella circonferenza di un circolo, come vede si nella Figura 130 nel quadrilatero ABcD , altrimenti non vi si potrebbe far la Vol¬

ta a vela : allora per misurare la Volta , e per non intrigarsi in lunghi e laboriosi calcoli , e per conseguenza facilmente errare , si puòoperar come fiegue . Misuratisi tutti i lati del Poligono , poi premiatisi tre angoli di esto , uno dietro ali’al¬

tro , verbigrazia , li tre A, B , C conducasi per due di loro opposti una. retta / ÎC, misurasi questa

retta

delle Fabbriche . 65 retta AC, poi con una scala segnasi in carta il triangolo ABC secondo le sue misure trovate , poi per itre angoli A , B , C di esso facciasi passare un cir¬

colo ; il modo di far la qual cola per esser cogni¬

tissimo e triviale si tralascia , e ne avremo il cir¬

colo ABCD . Ciò fatto dispongasi colla Scala gli altri lati del Poligono , per ordine , nel circolo mediante le sire misure , misurasi poi colla Scala il diametro di tal circolo , e le saette di tutti gli archi , e cosi avremo quanto basta per rilegar la superficie di tal volta , mentre col diametro del circolo ABC calcolata la superficie della sfera , e mediante le corde e saette misurate le superficie dei suoi rispettivi segmenti sferici , e assieme som¬

mati , e la loro somma levata da tutta la su¬

perficie della sfera , e dei rimanente presone la metà , il provenuto sarà la superficie della Volta a Vela ricercata .

Fin qui fi è parlato delle Volte a Vela poste sopra un qualche rettilineo inscritto nel Circolo massimo delia sfera , delia cui superficie la volta ne è parte , che val a dire esser la vela termina¬

ta da semicirconferenze di circolo ; ma perché so¬

vente occorrono - volte a vela terminate da archi di circolo minori delle sue semicirconferenze , det¬

te volgarmente non in peno Cinieno a differenza di quelle dette di sopra , che chiamatasi in peno cìn-

teno per esser gli archi che le terminano intere semicirconferenze di circolo e perciò non inscrit¬

te nel circolo massimo della sfera , ma in un al¬

tro parallelo ad esso , e queste occorron sempre quando vuol darsi alla volta minor altezza di quella porterebbe se il retilineo su cui è forma¬

ta , fosse inscritto nel circolo massimo della ssc-

E ra,

66 Trattato della Misura

ra , o come dicono i Pratici , dargli meno rigo¬

glio , allora per misurar tai volte può operarsi nel seguente modo , il quale benché non,; sia in tutto rigor geometrico , è però tale , che può senza scrupolo aver luogo nella pratica , mentre volen¬

do operare con tutto il rigore , la pratica ne è troppo lunga e laboriosa particolarmente pei Pra¬

tici , per averne poi una differenza di nullo mo¬

mento alla Pratica . Veniamo ali ' esempio.

Sia dunque la Volta a vela ^ SCZ>Figura izr.

congruità sopra un quadrato , magli archi chela terminano sieno archi di semicirconferenze diCir¬

colo . Prendasi una riga sottile e flessibile di quel¬

le che i muratori chiama no Cantinelle, delle quali appunfo se ne servono nella fabbrica delle Volte, onde piegatisi e si adattano alle superficie Curve, pongasi questa su la sommità degli archi AED , DFC , e piegasi facendola combacciare ed adat¬

tarsi sopra la superficie della Volta , e dietro es¬

sa segnisi la Curva EF, e lo flesso facciasi dall' altra punta opposta della volta § , le quai punte sono chiamate dai Pratici , Peduzzi della Volta , poi dividansi in mezzo gli archi EF, e GEI in/

e K , per questi punti I e K e per i punti D e B , conducansi , colf ajuto della stessa riga , le Curve ID , KB , e se ne prendi la loro quarta Parte IM, e KL , e pel punto M e L condotta con una riga o filo la ME , e nel mezzo O di essa alzata la perpendicolare OP fino alla som¬

mità della Volta , e inteso un segmento di sfera il diametro della cui basesia IL , e la sua altez¬

za la PO , per lo che tai linee dovran misurarsi, mentre ciò fatto , avrem quanto basta per rilevar la misura della superficie di tal segmento sferico

DELL ® FAERICHE . 6j

secondo gì’ insegnamenti del Problema II , il quale ci darà prossimamente lasuperficie della data Vol¬

ta a Vela ABCDA come cercavasi-

La stessa regola deesi tenere quando la Volta fosse posta sopra qualche Poligono regolare,come, verbigrazia , dimostrala Figura izg facendo quan¬

to si è inlegnato di sopra in due delle sue pun¬

te diametralmente opposte della Volta , come in A e D , lo che per esser chiaro da quanto si è in¬

segnato , sopra ciò non se ne fa altra parola.

Se finalmente la Volta fosse sopra un qualche Poligono irregolare ; allora per trovare il diame¬

tro della base circolare del segmento sferico , de- efi operare con prudenza , acciocché la superficie di tal segmento venghi prossimamente uguale a quella della Volta , cioè che a un dipresso la som¬

ma delle superficie delle parti delle punte o pe- duzzi che rimangono sotto la base circolare del segmento , vengano a uguagliare il di più della Volta che resta compreso fra la base circolare di esso segmento egli , archi chela terminano , come nella Figura izr, nella quale fi è trovato il dia¬

metro AB che forma il circolo AEBF , il quale colf altezza CD da un segmento sferico , la cui su¬

perficie è prossimamente uguale a quella della volta onde chiaramente fi vede come deeu ope¬

rare con somma prudenza e avvedutezza . Questo caso si è espresso in tal forma , perché , quasi snai accadranno simili Volse nelle Fabbriche.

I Triangoli sferici , i quali si fimo insegnati â misurare nel Problema VI , sono quelli che tro¬

vatisi nelle cantonate o angoli formati da quattro archi semicircolari , i quali sostengono qualche Ca¬

sino , o Cupola chiamati da Pratici Venachj . S#

E 2 poi

63 Trattato della Misura

poi la Cupola o Catino fosse pollo sopra cinque sei , o più archi , cioè fossero posti sopra qualche poligono regolare , che può accadere in qualche maestosa e bizzarra Fabbrica , come se , verbigrazia, fosse sopra una Volta elagona come nella Figura J7^Q. nella quale, fosse sopraposto un Catino , Cupola , e suoi Tamburi ; misurata la superficie di tal Volta intesa intera , e dalla sua superficie detratta la superficie del segmento sferico fatto so¬

pra la CD coll5 altezza della Volta meno la Saet¬

ta di uno degli archi che terminano la volta , il residuo farà la superficie di tutti i triangoli sfe¬

rici , perciò diviso tal residuo , nel nostro ^casoper 6 , perché sono sei i delti triangoli , ne avremo pel quoziente la quantità dsogn 5 un di essi , ne}

qual mòdo dessi intendere di qualsivoglia ah tro poligono regolare »

CAPITOLO IV.

Della misura iella superficie dei sferoidi ,

Problema I.

Dato uno sferoide, manifestare la sua superfi¬

cie convessa .

S

^lo sferoide ,

giore , verbigrazia,piedi io, CD minore piedi7 , per averne la lua superficie calcolisi la circonferen¬

za di quel circolo che si sarebbe coll5 asse minore

CD dell ’Elipsoide preso per diametro, e ne ver¬

ranno piedi 22 , questi moltiplican !» per la misu- ra deli ’assfc maggiore CD piedi io , e il prodotto 220 mostra che la superficie convessa del data Eli*

alòide ABCD è piedi quadrati 220,