FUNZIONI, DERIVATE, INTEGRALI
FUNZIONI a variabile reale di un numero reale
Un numero reale è un qualunque numero positivo o negativo, con o senza cifre decimali indipendentemente dal fatto che il numero di cifre decimali sia finito o infinito. In termini semplicistici, i numeri reali sono quelli trattati nei normali problemi anche scolastici di cui gli alunni si occupano fin dalle scuole elementari. In genere, se il numero ha parte intera, si considera la parte intera e tre cifre dopo la virgola, se la parte intera è zero, si considerano tre cifre decimali significative, cioè non contano gli zeri compresi fra la virgola e la prima cifra diversa da zero.
Esempi:
19,00345 si considera 19,003
0,00003957812 si considera 0,0000395
La funzione reale di variabile reale è una entità matematica che trasforma un numero reale in un altro numero reale.
La scrittura y = f(x) significa che:
f è la funzione, la trasformazione del numero
x è il generico numero trasformato, la variabile indipendente
y è il generico numero che si ottiene dalla trasformazione, la variabile dipendente.
Esempio:
y = 5 x la funzione è la moltiplicazione per 5.
y = x2 la funzione è l’operazione di elevamento al quadrato.
y = sen(x) la funzione è il sen(..).
y = 5 x2 + 9 x - 10 la funzione è più complessa delle precedenti, è una somma di funzioni semplici del tipo visto sopra.
I problemi tecnici di un certo livello, spesso, come soluzione, non hanno un numero ma un insieme infinito di numeri, questo insieme è espresso da una funzione.
Esempi:
Supponiamo di mettere l’estremità di una sbarretta di metallo a contatto con un corpo alla temperatura di 100 °C , mentre l’altra estremità la mettiamo a contatto con un corpo a –20 °C. Si capisce che la temperatura non sarà la stessa in tutti i punti della barretta. In certi problemi ha interesse conoscere, dato un punto sulla barretta, quale è il valore della temperatura in quel punto.
In altre parole, si vuole conoscere la funzione che trasforma il numero che rappresenta la posizione x del punto sulla barretta, nella temperatura T in quel punto, si vuole conoscere la funzione T(x).
Supponiamo si avere una barretta di metallo, vincolata e sottoposta a certi carichi, anche senza aver mai visto un calcolo strutturale, si capisce che in ogni punto della sbarretta, il materiale sarà sforzato con una certa intensità. Per sapere se una certa struttura resisterà o meno ai carichi, prima che si vada incontro a situazioni pericolose, ha interesse conoscere l’intensità dello sforzo in ogni punto della barretta. In termini matematici, si vuole conoscere la funzione che ad ogni valore x che rappresenta la posizione del punto sulla barretta, fornisce il valore dello sforzo in quel punto.
Il grafico di una funzione è l’insieme dei punti x,y:
Quanto scritto fin qui, è una formalizzazione di ciò che gli alunni applicano fin dalle scuole medie, le funzioni non sono altro che le cosiddette “formule”. A questo punto degli studi, occorre introdurre un certo formalismo necessario per introdurre nuove operazioni che permettano di sviluppare metodi di calcolo più potenti di quelli visti finora.
x y = f(x)
OPERAZIONE DI DERIVAZIONE O DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Consideriamo due valori della variabile indipendente, x1 ed x2 che siano molto vicini
Consideriamo i corrispondenti valori della funzione, f(x1) ed f(x2), saranno anche questi molto vicini.
Si pone: x = x2-x1 detto incremento della variabile indipendente
e f = f(x2) – f(x1) detto incremento della funzione o della variabile dipendente Si chiama derivata della funzione f, l’operazione di divisione:
x f
con un x piccolissimo (si dice infinitesimo, tendente a zero)
L’operazione di derivata della funzione f si indica con
dx x f
d
dove la d indica variazionepiccolissima, infinitesima di f e di x, oppure con f oppure con
f
quando la variabile è il tempo.La derivata della funzione f è a sua volta una funzione di x. Ad ogni valore di x corrisponde il numero calcolato come f/x.
Esempio:
Una applicazione ad un problema già trattato in fisica è il calcolo della velocità. La velocità media Vm fra il tempo t2-t1 viene calcolata come rapporto fra lo spazio corrispondente s2-s1 diviso l’intervallo di tempo.
2 1
1 2
m t t
s V s
x1 x x2
f(x1) f(x2)
f
x y = f(x)
Tangente geometrica al grafico nel punto in cui si valuta la derivata
Se si vuol calcolare la velocità istantanea, cioè in un istante di tempo, bisogna considerare che lo spazio percorso è una funzione dell’istante di tempo, bisogna considerare due istanti di tempo molto vicini all’istante di nostro interesse, a questi corrisponderanno due spazi molto vicini, infine si calcola
t Vistantanea s
.
Esistono delle tecniche matematiche per ottenere la funzione derivata di una funzione assegnata, queste saranno studiate in matematica al 5° anno, assieme ad un formalismo abbastanza noioso e sopportabile solo nel caso siate abbastanza fortunati da avere una professoressa di matematica di gradevoli sembianze.
Per la applicazioni relative al corso di disegno e progettazione è sufficiente capire alcuni concetti e memorizzare la formula che permette di ottenere la derivata delle funzioni potenza. Fra queste, poi, la più complicata di quelle che ci interessano è la derivata di x3.
La derivata ha un significato geometrico, che risulta molto utile nelle applicazioni e che ora illustriamo. Poiché x1 ed x2 e f(x1) ed f(x2) sono stati scelti molto vicini, il grafico della funzione compreso fra x1 ed x2 può essere considerato un segmento. Osservando la figura, si capisce che si viene a formare il triangolo rettangolo di cateti df e dx e che ha per ipotenusa un trattino del grafico della funzione. Con la semplice regola di trigonometria, si ha che:
tan dx df
Questo significa che la derivata rappresenta la tangente trigonometrica dell’angolo che la tangente geometrica al grafico forma con l’asse x.
Invertendo questa relazione si può scrivere che df = dx tang(). Se si assegna un dx e si conosce la derivata della funzione, questa relazione consente di calcolare la variazione df della funzione.
Questa relazione è molto importante nelle applicazioni tecniche.
Con riferimento alla figura di sotto, vediamo un’altra applicazione della derivata.
x3
x1 x2
x y = f(x)
x4
Come si vede dal grafico, il punto 1 è un punto dove la funzione ha un valore più piccolo rispetto a quelli che assume nei punti vicini; si dice che il punto 1 è un punto di minimo per la funzione. Nel punto 1 la tangente al grafico è orizzontale cioè il suo angolo di inclinazione rispetto all’asse x è zero quindi è zero la tangente trigonometrica.
Poiché abbiamo appena visto che la tangente trigonometrica è uguale alla derivata, si conclude che nel punto 1 la derivata della funzione è zero. Invertendo il ragionamento si deduce che se si vuol trovare un punto di minimo in una funzione, bisogna trovare i punti in cui la derivata è zero. Si esprime la derivata della funzione, la si eguaglia a zero e si determinano le soluzioni, quelli sono i punti di minimo.
Analogo ragionamento vale per i punti di massimo come il punto 3.
Nel punto 2 la funzione assume valori sempre crescenti man mano che si procede verso destra e valori minori spostandosi verso sinistra, si dice che la funzione è crescente nel punto 2. Si osserva inoltre che la tangente al grafico nel punto 2 forma un angolo positivo rispetto all’asse x. Poiché abbiamo appena visto che la tangente trigonometrica è uguale alla derivata, si conclude che nel punto 2 la derivata della funzione è positiva. Anche qui vale il ragionamento inverso, se si vuol conoscere l’intervallo di valori x in cui la funzione è crescente bisogna determinare l’intervallo in cui la derivata della funzione è maggiore di zero. Si esprime la derivata della funzione, la si pone maggiore di zero e si risolve la disequazione.
Analogo ragionamento vale per i punti in cui la funzione è decrescente come il punto 4.
La formula per il calcolo della derivata della funzione potenza di esponente n, cioè xn , è:
1
n
n
x dx n
x d
Esempio:
3 1 2 3x 3 x
dx 3 x
d
L’operazione di derivata è lineare, cioè, valgono le due proprietà:
La derivata di un numero per una funzione è il numero moltiplicato la derivata della funzione.
Esempio:
3 1 23 3
15 3
5 5 5
x dx x
x d dx
x
d
La derivata della somma di due funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione.
ovviamente la regola vale anche per la sottrazione
Esempio:
x x x xdx dx dx
dx dx
x x
d
18 15
2 9 3
5 9
9 5
5 3 2 3 2 2 2
Derivazione numerica
Questa tecnica di derivazione di una funzione si attua quando non è nota la funzione f(x), ma sono noti i valori che la funzione assume in un numero finito di punti dell’asse x.
Per identificare i punti del grafico, si assegna loro una numerazione messa a pedice.
xi è il generico valore sull’asse x
fi è il valore della funzione f in corrispondenza di xi Il pedice (i-1) indica il punto che precede (xi,fi) Il pedice (i+1) indica il punto che segue (xi,fi)
Il valore della derivata può essere calcolato solo nei punti in cui è nota la funzione. Ovviamente, i valori calcolati non sono esatti ma approssimati.
Nel generico punto xi si possono calcolare tre tipi derivate:
derivata sinistra
i 1
i ) 1 i ( i
i x x
f ' f
f
derivata centrata
i 1 i 1
) 1 i ( 1 i
i x x
f ' f
f
derivata destra
i 1 i i 1 i
i x x
f ' f
f
Il tipo di derivata utilizzato dipende dal problema fisico.
f(i+1)
x(i-1) xi x(i+1)
f(i-1)
fi
x y = f(x)
OPERAZIONE DI INTEGRAZIONE O INTEGRALE DI UNA FUNZIONE
L’integrale di una funzione f fra due valori di x, mettiamo fra A ed un valore x è l’operazione che consiste nel dividere l’intervallo [ A, x ] in tanti intervalli infinitesimi dx, calcolare i prodotti
f dx
e sommare tutti i valori ottenuti.
Poiché
f dx
rappresenta l’area della striscia di altezza f e base dx, si deduce che il significato geometrico dell’operazione di integrazione è quello di area sotto la parte di grafico compresa fra gli estremi A ed x dell’intervallo scelto.L’operazione di integrazione descritta si indica col seguente simbolismo:
x
A
dx x f
L’integrale nel quale un estremo dell’intervallo di calcolo rimane la variabile x è a sua volta una funzione di x, ad ogni x fa corrispondere il valore dell’area sotto il grafico di f fino al valore x.
Esempio:
Una applicazione ad un problema già trattato in fisica è il calcolo del lavoro. Il lavoro è il prodotto una forza F per lo spostamento S del suo punto di applicazione, si calcola con una moltiplicazione L = F S. Consideriamo ora la possibilità che la forza non sia costante lungo lo spostamento; in altre parole la forza è una funzione dello spostamento. Il calcolo del lavoro può essere eseguito suddividendo lo spazio in tanti spazi elementari ds su ognuno dei quali la forza F può essere considerata costante, il lavoro su ogni intervallo vale dL = F ds, infine si sommano tutti i lavori elementari. Questa sequenza di operazioni equivale ad eseguire l’integrale di F sull’intervallo S.
f(x1) f(x2)
x y = f(x)
dx
x1 x2
A x
s dsF L
S
0
Contrariamente a quanto avviene per l’operazione di derivata, non esistono delle tecniche matematiche per ottenere la funzione integrale di qualsiasi funzione data. Le tecniche del calcolo integrale saranno studiate in matematica al 5° anno.
Per la applicazioni relative al corso di disegno e progettazione è sufficiente capire alcuni concetti e memorizzare la formula che permette di ottenere l’integrale delle funzioni potenza. Fra queste, poi, la più complicata di quelle che ci interessano è la derivata di x3.
La formula di calcolo della funzione integrale della funzione potenza di esponente n, cioè xn , è:
1
0 1
1
nx
n x
dx n x
2 1 3
0 2
3 1 1
2
1 x x
dx x
x
L’operazione di integrazione è lineare, cioè, valgono le due proprietà:
L’integrale di un numero per una funzione è il numero moltiplicato l’integrale della funzione.
4 4
3
0 0
3
4 5 4
5 1 5
5 x dx x x x
x x
L’integrale della somma di due funzioni è la somma degli integrale di ciascuna funzione.
3 4
2
0 3
0 2
0 3
3 9 1 4
5 1 9
5 9
5 x x dx x dx x dx x x
x x
x
Integrazione numerica
Questa tecnica di integrazione di una funzione si attua quando non è nota la funzione f(x), ma sono noti i valori che la funzione assume in un numero finito di punti dell’asse x. Si attua inoltre, quando non si sa eseguire l’integrazione analitica della funzione.
Per identificare i punti del grafico, si assegna loro una numerazione messa a pedice.
xi è il generico valore sull’asse x
fi è il valore della funzione f in corrispondenza di xi Il pedice (i-1) indica il punto che precede (xi,fi) Il pedice (i+1) indica il punto che segue (xi,fi)
L’integrale rappresenta l’area sotto il grafico della funzione. Questa area può essere calcolata come somma delle aree elementari Ai delle strisce quasi trapezoidali che hanno per altezze i segmenti x(i+1)-xi . L’approssimazione è tanto migliore quanto più sottili sono le strisce.
L’area della generica striscia elementare è calcolata come area di un trapezio:
i 1 i
i 1 i
i x x
2 f
A f
f(i+1)
x(i-1) xi x(i+1)
f(i-1)
fi
x y = f(x)
