Esercizio1.
Persemplicitaponiamog(x)=e x
(3x 2
+4x 4). Allorasi hacheg ede nita su tuttol'asse realee
g2C 1
(IR ).
g(x)>0 perx< 2; x>2=3; g(x)<0 per 2<x<2=3; g(x)=0 perx= 2;2=3;
lim
x!+1
g(x)= lim
x!+1 3x
2
e x
=0 y=0 easinototoorizzontaleperx!+1;
lim
x! 1
g(x)= lim
x! 1 3x
2
e x
=+1 noncisonoasinototiorizzontalioobliqui perx! 1;
g 0
(x)= e x
(3x 2
2x 8); g 0
(x)=0 perx= 4=3;2;
g 0
(x)>0 per 4=3<x<2; g ecrescente;
g 0
(x)<0 per x< 4=3; x>2; gedecrescente;
x= 4=3 epunto diminimoassoluto; x=2 epuntodi massimorelativo;
g 00
(x)=e x
(3x 2
8x 6); g 00
(x)=0 perx= 4
p
34
3
;
g 00
(x)<0 per 4
p
34
3
<x<
4+ p
34
3
; geconcava;
g 00
(x)>0 per x<
4 p
34
3
; x>
4+ p
34
3
; g econvessa;
x= 4
p
34
3
sonopuntidi esso:
Osservandoche
f(x)=jg(x)j=
g(x) sef(x)0,ovveroper x 2; x2=3,
g(x) seg(x)<0,ovveroper 2<x<2=3,
ilgra codif siottienedaquellodig,semplicemente ribaltandoquest'ultimonell'intervallo( 2;2=3),cioe
dove g e negativa. Pertanto, x = 2;2=3 risulteranno essere punti angolosi di minimo assoluto per f,
mentre x = 4=3;2sarannopuntidi massimo relativo. Percompletezza, osserviamoche f( 4=3)=4e 4=3
edf(2)=16e 2
; pertantof( 4=3)>f(2). In ne,x= 4
p
34
sonopuntidi esso. Ilgra coe
Osserviamo,innanzitutto,chelaseriepropostaeatermini positivi. Applicandoil criteriodellaradice,
siottiene
lim
n!+1 n s
1
2 x
n
(n 2
+1)= 1
2 x
lim
n!+1 n p
(n 2
+1)= 1
2 x
:
Pertanto,laseriepropostasaraconvergenteper1=2 x
<1,ovverox>0;mentresaradivergenteper1=2 x
>1,
cioex<0. Restadastudiareilcasox=0,chefornisce
+1
X
n=1 (n
2
+1):
Poiche,in talcaso,il terminegeneraledellaserienonein nitesimo,essarisultaesseredivergente. Conclu-
dendo,laseriepropostaconvergeperx>0,mentredivergeperx0.
Esercizio3.
Ponendoz = e i
, ed osservandoche z = e i
e i = e i=2
, l'equazione propostasi riscrivenella
forma
3
e i
e i
=e i=2
dacui 2
e 2i
=e i=2
:
Eguagliando i moduli e gliargomenti, ameno di multipli di 2, nella precedente espressione, si ottiene il
sistema
(
2
=1;
2= =2+2k k2Z;
ovvero (
=1;
= =4+k k2Z:
Riscrivendolesoluzionitrovateinformaalgebrica,siricavanoleduesoluzioni
z
1
= p
2
2 i
p
2
2 z
2
= p
2
2 +i
p
2
2 :
Esercizio4.
Ricordandogliordinidiin nito,siottiene
lim
x!+1 4e
x
3x 2
= lim
x!+1 4e
x
=2 lim
x!+1 e
x
=+1:
