α = e −x2+y2cos(2x y)d x − e −x2+y2sin(2x y)d y

AnalisiMatemati a 2- Corso diLaurea in INGEGNERIA

DELL'ENERGIA e INGEGNERIA CHIMICA

(A.A. 2019/2020)

Assignement II, S ritto 25.1.2021

Problema2. Sia

I (R) = Z

γ

α,

dove

α = e ^−x

^+y

cos(2x y)d x − e ^−x

^+y

sin(2x y)d y

e

γ _R

{x ² + y ² = R ² , 0 < y < x}

orientato in senso antiorario. Vedere se esiste il limite

lim _R→∞ I (R)

usando questo limite al olare

Z _∞

0

cos(4x ² )d x.

Brevesoluzione . Perstimare

Z

γ

α

usiamo laparametrizzazione

x = R cosϕ, y = R sinϕ, ϕ ∈ (0,π/4)

e troviamoperogni

δ < π/8 Z

γ

α =

− Z π/4

0

e ^−R

^(cos(2ϕ)) ¡cos(R ² sin(2 ϕ))R sin ϕ + sin(R ² sin(2 ϕ))R cosϕ¢ dϕ

Usando

cos(2 ϕ) > cδ, |ϕ − π/4| ≤ δ

troviamo

¯

¯

¯

¯ Z

γ

α

¯

¯

¯

¯ ≤ 2

Z _π/4−δ

0

e ^−R

^cδ Rd ϕ + Z π/4

π/4−δ

2Rd ϕ ≤ e ^−cR

^δ R + δR.

S egliendo

δ = R ^−3/2 ,

¯

¯

¯

¯ Z

γ

α

¯

¯

¯

¯ → 0.

Pratti amenteglistudenti hesonorius itiatrovareeGIUSTIFICARE

illimite hanno ottenuto il massimodi voto.

Il resto e lasoluzione ompleta.

Nellostesso modosivede he

¯

¯

¯

¯ Z

γ

β

¯

¯

¯

¯ → 0.

dove

β = e ^−x

^+y

cos(2x y)d x + e ^−x

^+y

sin(2x y)d y.

Il dierenziale della forma

β = e ^−x

^+y

cos(2x y)d x + e ^−x

^+y

sin(2x y)d y

e

d β = h

−∂ y

³

e ^−x

^+y

cos(2x y)

´ + ∂ x

³

e ^−x

^+y

sin(2x y)

´i

d xd y = h

−2ye ^−x

^+y

cos(2x y) + 2xe ^−x

^+y

sin(2x y) − 2xe ^−x

^+y

sin(2x y) + 2ye ^−x

^+y

cos(2x y) i

d xd y = 0.

In modosimile la forma

σ = e ^−x

^+y

cos(2x y)d y − e ^−x

^+y

sin(2x y)d x

hadierenziale 0 .

Sia

Ω R = {(x, y);0 < y < x, y ² + x ² ≤ R ² }

on frontiara

∂Ω R = A R + γ R + B R ,

dove

A _R = {(x,0);0 < x < R}, B R = {(y, y);0 < y < R}.

Il teorema diStokes impli a

0 = Z

Ω

d β = Z

A

β + Z

γ

β + Z

B

β.

0 = Z

Ω

d σ = Z

A

σ + Z

γ

σ + Z

B

σ.

Prendendo limite

R → ∞,

Z

A

β → Z _∞

0

e ^−x

d x = p π

2 Z

A

σ → 0

e quindi

Z

B

β → − Z _∞

0 ¡cos(2y ² ) + sin(2y ² ) ¢ d y = − p π

2 . Z

B

σ → Z _∞

0

¡cos(2y ² ) − sin(2y ² ) ¢ d y = 0.

Cosi troviamo

Z _∞

0

cos(2y ² )d y = p π

4 .

Usando larelazione

Z _∞

0

cos(R ² y ² )d y = R ⁻¹ Z _∞

0

cos(y ² )d y,

troviamo

Z _∞

0

cos(y ² )d y = p 2

Z _∞

0

cos(2y ² )d y = p π p 8 .

La relazione(

eq.rel1

2)impli a

Z _∞

0

cos(R ² y ² )d y = R ⁻¹ p π p 8

.

Con

R = 2

Z _∞

0

cos(4y ² )d y = p π 2 p

8 = p π 4 p

2 .

Remark 1. Regole durante los ritto:

1.La video amera deve essere semprea esa

2.Tenerelosmartphonesemprevisibilesultavolo,il ellularesiusa

per vedere il testo del ompitinoi primi 5-10 minutie poideve essere

SPENTO eCAPOVOLTO

3.Durantelosvolgimentodellaprova
evietatol'utilizzodiappunti,

libri,dellatastieradelPC/Ma /tabletodelmouseameno henon sia

ri hiesto daldo ente;

4. Il do ente sorveglia gli studenti durante la prova e risponde in

hat ad eventuali domande.

5. Dopo svolgimento del eser izio(quando s ade il tempo di 1 ora

perlosvolgimentodieser izio)lostudenteutilizzaSOLOCELLULARE

perfarelafotoepreparareUNICOpdf,jpgle.Lostudentedopoaver

preparato le deve restare seduto on web a esa e senza s rivere sul

foglio. Lo studente NON DEVE INSERIRE FILE IN TEAM prima

he il do enteglielo omuni hi.

6.La prova dura1 ora. SOLO dopo1 ora lostudente puo s attare

fotodel suo elaborato.

7.PrimadiinviarelasoluzioneTRAMITECELLULARElostudente

ontatta il do ente, il do ente ontrolla il foglio della soluzione, se