3) Impostare il calcolo di una regione critica di livello 0.95 per il test H0) 3, H1) &lt

Esercizio. Si consideri la densità f ( ; x) = C e ^x1_{x 1} de…nita per > 0.

1) Calcolare la costante C , scrivere il modello standard e trovare lo stimatore bn di massima verosimiglianza.

2) Stabilire se b_n è consistente.

3) Impostare il calcolo di una regione critica di livello 0.95 per il test H0) 3, H1)

< 3.

4) (Facoltativo) Usando un’opportuna trasformazione (da utilizzarsi però qui e solo qui) si calcolino rapidamente valore atteso e varianza di una v.a. con densità f ( ; x). Utilizzare poi il risultato per rispondere alla domanda 2 in un modo diverso e per esplicitare la regione critica del punto 3 in modo approssimato utilizzando il TLC.

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1 Soluzioni

1. R1

1e ^xdx =h

e ^xi1

1= ^e , quindi C = _e . Usiamo = ( 1; 1)ⁿ coi suoi boreliani e le misure P di densità

L ( ; x1; :::; xn) =

n

eⁿ e ^(x1+:::+xn): Vale poi

@

@ log L = @

@ (n log n + (x₁+ ::: + x_n)) = n

n + (x₁+ ::: + x_n) che è zero per ⁿ = n (x₁+ ::: + x_n), = _{n (x} ⁿ

1+:::+xn). Quindi lo stimatore di MV è

b_n= n

n (X1+ ::: + Xn) avendo indicato con X1; :::; Xn un campione di densità f ( ; x).

2. Il modello è chiaramente esponenziale, quindi b_nè consistente per un noto teorema.

3. Il rapporto di verosimiglianza, per ₂ > ₁, è L ( 2; x1; :::; xn)

L ( ₁; x₁; :::; x_n) = ²

1 n

e^{n( 1 2)}e^{( 2 1)(x1+:::+xn)}:

Rispetto a T (x₁; :::; x_n) := x₁+ ::: + x_n, è crescente, perché ²

1

n

e^{n( 1 2)} è na costante positiva e x 7! e^{( 2 1)x} è crescente ( ₂ > ₁). Pertanto la miglior regione critica ha la forma

fT dg

e per trovare d basta imporre l’equazione

P ⁼³(T d) = 0:05:

4. La v.a. Y = (X 1) è esponenziale di parametro , avendo densità f_Y (y) = f_X(x)

jD' (x)jj'(x)=y = f_X(1 y) = C e ^{(1 y)}1_{1 y 1} = C e e ^y1_{y 0} con y = ' (x) = (x 1), x = 1 y. Pertanto

E [X] = E [1 Y ] = 1 1

V ar [X] = V ar [1 Y ] = V ar [Y ] = 1

2:

2

Da qui si può procedere con una veri…ca della consistenza basata o sul teorema di stabilità della convergenza in probabilità sotto trasformazioni continue, oppure mostrando che la varianza dello stimatore tende a zero. Poi si può approssimare

P ⁼³(T d) = P ⁼³(X₁+ ::: + X_n d) = P ⁼³ X₁+ ::: + X_n n pn

d n

pn

d n

pn = 0:05

dove = 1 ¹, = ¹. Si passa poi al quantile e si esplicita d.

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