Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 3
†Probabilità condizionale e indipendenza.
Esercizio 1. Per rilevare la presenza di una certa malattia, si effettua un test. Se la persona sottoposta al test è malata, il test dà sempre esito positivo (non ci sono dunque “falsi negativi”). Se invece la persona sottoposta al test è sana, il test dà (erroneamente) esito positivo con probabilità 0.01. Indichiamo con α ∈ (0, 1) l’incidenza della malattia nella popolazione (cioè la frazione di persone malate). Si determini, in funzione di α, la probabilità pα che una persona risultata positiva al test sia effettivamente malata. Si calcoli il valore trovato per α = 0.1, 0.01, 0.001 e se ne descriva il comportamento asintotico per α → 0.
Esercizio 2. Ho una moneta A regolare e una moneta B truccata, per cui la probabilità di ottenere testa vale 34. Scelgo una moneta a caso, con uguale probabilità, e la lancio. Se esce testa, qual è la probabilità che la moneta scelta sia stata B?
Esercizio 3. Durante la notte, un taxi ha causato un incidente. In città operano due compagnie di taxi, una con i taxi gialli (che sono l’85% del totale) l’altra con i taxi bianchi.
Un testimone ha dichiarato che il taxi coinvolto nell’incidente era giallo. La probabilità che un testimone, di notte, identifichi correttamente il colore del taxi è pari a 0.8.
(a) Sulla base di queste informazioni, qual è la probabilità che il taxi coinvolto nell’incidente fosse in realtà bianco?
(b) Supponiamo che un secondo testimone abbia dichiarato che il taxi era giallo, e che la correttezza dell’identificazione del colore da parte di questo testimone sia indipendente da quella del primo. Sulla base di questa ulteriore informazione, qual è ora la probabilità che il taxi coinvolto nell’incidente fosse in realtà bianco?
Esercizio 4. Infilo in una busta tre carte: una ha entrambe le facce rosse, una le ha entrambe nere, una ha una faccia rossa e una nera. Con gli occhi chiusi, pesco una carta a caso e la depongo sul tavolo su una faccia a caso, quindi apro gli occhi. Se la faccia che vedo è rossa, qual è la probabilità che anche l’altra faccia sia rossa?
Esercizio 5. Una coppia ha due figli(e). Assumiamo che ciascun figlio possa essere maschio o femmina con la stessa probabilità, indipendentemente dal sesso dell’altro figlio.
(a) Sapendo che il primogenito è maschio, qual è la probabilità che anche il secondogenito lo sia?
(b) Sapendo che il secondogenito è maschio, qual è la probabilità che anche il primogenito lo sia?
(c) Sapendo che almeno un figlio è maschio, qual è la probabilità che anche l’altro lo sia?
Il sabato pomeriggio la madre esce a passeggio con uno dei due figli, mentre il padre resta a casa con l’altro. Supponiamo che la madre scelga il figlio con cui uscire in modo casuale.
(d) Se incontro la madre a passeggio con un figlio maschio, qual è la probabilità che anche l’altro figlio sia maschio?
†Ultima modifica: 16 ottobre 2013.
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(e) Come cambia la risposta al quesito precedente se invece la madre avesse una particolare predilezione per i figli maschi e pertanto decidesse sempre di uscire con un figlio maschio (quando ne ha uno; altrimenti esce con una delle due figlie)?
Esercizio 6. Da un’urna contenente n palline di cui k rosse e n − k verdi, con 1 ≤ k ≤ n − 1, si estrae una pallina e quindi, senza reimmetterla nell’urna, si estrae una seconda pallina.
Si calcoli la probabilità degli eventi A1 := “la prima pallina estratta è rossa” e A2 := “la seconda pallina estratta è rossa”. Essi sono indipendenti?
Esercizio 7. Quante volte n è necessario lanciare un “dado regolare a N facce”, affinchè la probabilità di ottenere almeno una volta il numero “1” sia superiore al 90%? Si calcoli esplicitamente il valore di n per N = 6, 100, 1000.
Esercizio 8. Ho a disposizione n ∈ N monete: la i-esima moneta dà testa con probabilità
i
n, per 1 ≤ i ≤ n. Scelgo una moneta a caso e la lancio k ∈ N volte.
(a) Qual è la probabilità pn,k che esca sempre testa nei k lanci?
(b) Supponendo che sia effettivamente uscita sempre testa nei k lanci, qual è la probabilità (condizionata) qn,k che esca testa anche al lancio successivo?
(c) Si calcoli il limite per n → ∞ (con k fissato) dei risultati ottenuti.
Esercizio 9. Siano assegnati tre numeri: α1, α2 ∈ [0, 1] e β ∈ (0, 1).
(a) Si mostri che esiste uno spazio di probabilità contenente due eventi A, B tali che P(B) = β , P(A|B) = α1, P(A|Bc) = α2.
[Sugg. Si consideri Ω = {ab, a¯b, ¯ab, ¯a¯b} = {a, ¯a} × {b, ¯b}, definendo A := {ab, a¯b}, B := {ab, ¯ab}
e mostrando che esiste un’unica probabilità P su Ω che soddisfa le specifiche richieste.]
(b) Si mostri che come spazio di probabilità per il punto precedente si può prendere (Ω = (0, 1), A = B((0, 1)), P = Leb), con B := (0, β) e definendo opportunamente A.
Esercizio 10. Un commerciante acquista certe componenti elettriche in egual misura da due fornitori A e B. Viene a sapere che il 15% delle componenti provenienti da B è difettosa, cioè si rompono dopo poche ore di utilizzo, contro solo il 3% di quelle provenienti da A.
Il commerciante è in procinto di mettere in vendita una confezione tali componenti, tutte provenienti dallo stesso fornitore, ma di cui non ha registrato la provenienza. Per conoscerne la provenienza ne testa 20, di cui 2 risultano difettose. Con quale grado di confidenza può ritenere che la partita gli sia stata fornita da B?
