ESERCIZI DI MATEMATICA 1. Data l’affinità a di equazioni:

ESERCIZI DI MATEMATICA 1. Data l’affinità a di equazioni:

( x

= x + y + 1 y

= 3x − y (a) scrivere le equazioni della affinità inversa;

(b) stabilire se l’affinità ammette punti fissi, direzioni invarianti, rette unite o rette fisse.

2. Dimostrare che un’affinità conserva i punti medi dei segmenti.

3. Date le affinità a

e a

di equazioni:

a

:

( x

= 2x − y + 4 y

= 3x − y − 2 e

a

:

( x

= −x + y + 1 y

= x − 2y + 1 trova le equazioni dell’affinità a

◦ a

e le equazioni di a

◦ a

.

4. Calcola la matrice prodotto delle seguenti due matrici: M

=

 1 −4

3 2

 e M

=

 2 1

0 −1



5. Quale tra le seguenti equazioni non rappresenta un’affinità?

( x

= 2x + 2y − 1 y

= 4x − 5y − 2 ( x

= 3x + 5y

y

= 4x − 6y − 3 ( x

= 2x + 4y − 3

y

= 4x + 8y ( x

= 2x + 1

y

= 5y − 2 6. Data l’affinità di equazioni:

( x

= 2x − 3y + 2 y

= 4x − 5y − 2 (a) trovare gli eventuali punti fissi;

(b) dimostrare che l’affinità è invertibile;

(c) trovare le equazioni dell’affinità inversa;

(d) trovare le eventuali direzioni invarianti;

(e) trovare le eventuali rette unite;

(f) trovare le eventuali rette fisse.

7. In un’affinità a il punto O (origine) è punto unito, mentre i corrispondenti di A = (1, 0) e B = (0, 1) sono rispettivamente A

= (1, 1) e B

= (−1, 1).

(a) determina le equazioni dell’affinità.

(b) a è diretta o invertente?

(c) a è una similitudine? è un’ isometria?

(d) trova il corrispondente del punto C = (2, 1) e determina il rapporto tra i perimetri e le aree dei triangoli ABC e A

B

C

; (e) determina la curva corrispondente alla parabola avente vertice in A e passante per B.

(f) determina eventuali punti uniti, rette unite, rette fisse.

8. Classifica le seguenti trasformazioni del piano:

( x

= 2x − 3y + 1 y

= 3x + 2y − 2

( x

=

√ 5

7

x +

y+

y

=

x −

√ 5 7

y−

( x

= 6 − x + 6 y

= 4 − y + 2

( x

=

x−

y + 8 x

=

x+

y − 6 9. Trova l’inversa della seguente affinità:

( x

= x − 2y − 3 y

= 4x + 2y + 1 10. Si può affermare che la composizione di due isometrie è un’isometria? Spiega.

11. Trova una coppia di valori h e k per cui le seguenti equazioni siano quelle di una simmetria assiale:

( x

=

x +

y + h y

=

x −

y + k

Scrivi l’equazione dell’asse di simmetria e le coordinate dei trasformati dei punti O = (0, 0), A = (1, 0), B = (1, 1) e C = (0, 1).

12. Studia la seguente affinità:

( x

= 2x + y + 4 y

= −3x + 6y + 4 Trova la misura dell’angolo acuto formato dalle direzioni invarianti.

13. Dimostra che se un’affinità ha due rette unite, essa deve avere un punto fisso. Vale il viceversa?

Un’affinità può avere tre rette unite? Argomenta in modo chiaro ed esaustivo le risposte.

14. Data la trasformazione di equazioni:

 x

= 2x − 3y + 1 y

= 3x + 2y − 3 (a) verifica che si tratta di una similitudine e trovane la costante;

(b) trova il punto fisso;

(c) trova le equazioni di una rotazione e di una omotetia aventi lo stesso centro che composte diano la similitudine;

(d) scomponi la similitudine in una omotetia di centro l’origine e in una rotazione. Qual è il centro di rotazione?

(e) trova le eventuali direzioni invarianti della similitudine:

(f) trova l’equazione del fascio di circonferenze che viene lasciato unito dalla trasformazione;

(g) come viene trasformata la parabola di equazione y = x

dalla similitudine?

15. Trova le equazioni della simmetria assiale s avente per asse la retta r di equazione y =

x + 1. Trova, sia con considerazioni sintetiche che analitiche, le direzioni invarianti e le rette unite. Trova infine l’equazione della parabola ottenuta applicando la s alla parabola di equazione y = x

.

16. Trovare, se esiste, il punto fisso della trasformazione ρ di equazioni:

( x

=

√ 2 2

x −

√ 2 2

y +

√ 2 2

y

=

√ 2 2

x+

√ 2 2

y − √

2 (a) trova le eventuali rette unite e direzioni invarianti;

(b) sia t la traslazione di vettore (−2, 3), verifica che ρ ◦ t 6= t ◦ ρ;

(c) studia la trasformazione ρ ◦ t.