ESERCIZI DI MATEMATICA 1. Data l’affinità a di equazioni:

ESERCIZI DI MATEMATICA 1. Data l’affinità a di equazioni:

( x

= 2x − y + 1 y

= 3x − y − 2

(a) calcola il determinante della matrice M associata ad a e da esso stabilisci se l’affinità sia diretta o invertente, e il rapporto fra l’area di una figura e l’area della sua trasformata;

(b) verifica che, nonostante quanto ricavato nel punto precedente, l’affinità non è un’isometria (poiché ogni figura viene trasformata in una figura equivalente, si dice che a sia un’affinità equivalente);

(c) trova le equazioni dell’affinità inversa a

e calcola a

◦ a. Che cosa ottieni? E’ un risultato prevedibile?

(d) trova il punto fisso F di a e scrivi l’equazione del fascio di rette passante per F; scrivi poi l’immagine mediante a della generica retta del fascio e verifica che passa per F.

(e) trova, se ci sono, rette del fascio che siano perpendicolari alla propria immagine mediante a.

2. Proviamo a ricavare il prodotto scalare fra due vettori di cui conosciamo le componenti. Siano − → u = (u

, u

) e − → v = (v

, v

).

L’intensità di − → u è data da q

u

+ u

, mentre l’intensità di − → v è q

v

+ v

. Il segmento BC ha lunghezza p(u

− v

)

+ (u

− v

)

. Il teorema di Carnot assicura che BC

= u

+ v

− 2uv cos θ , essendo θ l’angolo compreso fra u e v.

(a) applica il teorema di Carnot al triangolo OBC, ed esprimi cos θ in funzione delle componenti dei due vettori;

(b) che cosa accade se i due vettori − → u e − → v sono ortogonali?

3. Scrivi il prodotto vettoriale fra i vettori − → u = (−1, 2) e − → v = (1, −3)

4. Usando il prodotto vettoriale, calcola la misura dell’angolo formato dai vettori − → u e − → v dell’esercizio precedente.

5. Dato un parallelepipedo di spigoli a, b e c come si calcola la misura della sua diagonale? Perché?