Analisi Matematica Prof. Giuseppe Maria COCLITE aa. 2017/2018 I MODULO (6 CFU) 1- NUMERI REALI.

Prof. Giuseppe Maria COCLITE aa. 2017/2018

I MODULO (6 CFU)

1- NUMERI REALI. Insiemi numerici e propriet`a. L’insieme R dei numeri reali, l’assioma di completezza. Propriet`a dei sottoinsiemi di R: massimo, minimo, teorema di esistenza dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore ed applicazioni. Il principio di induzione ed applicazioni. (0,5 CFU)

2- NUMERI COMPLESSI. Definizione dei numeri complessi, unit`a immaginaria. Opera- zioni con i numeri complessi. Complesso coniugato, modulo di un numero complesso, argo- menti di un numero complesso. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici di un numero complesso. (0,5 CFU)

Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5^a edizione.

Appendice 1

(Numeri complessi: 1,...., 43, 46, 47, 49, 51,..., 55).

3- FUNZIONI REALI. Funzioni reali di variabile reale: definizione e propriet`a. Operazioni con le funzioni reali. Funzioni monotone, funzioni pari o dispari, funzioni periodiche. Le funzioni elementari dell’Analisi Matematica. Successioni di numeri reali. (0,5 CFU)

Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5^a edizione.

Capitolo P

(P.1, Valore assoluto e diseguaglianze: 7,...., 42);

(P.4, Funzioni e grafici elementari: 1,...., 6, 23,...., 34);

(P.5, Funzioni composte: 11,...., 16, 25, 26, 27);

(P.6, Polinomi e funzioni razionali: 1,...., 20);

(P.7, Richiami di trigonometria: 1,...., 49).

Capitolo 3

(3.1, Funzioni iniettive e invertibilit`a: 1,....,12);

(3.2, Funzioni esponenziali e logaritmiche: 1,..., 18, 21,...., 24, 29, 30);

(3.3, Funzioni esponenziali e logaritmiche in base e: 1,....,18);

(3.5, Funzioni trigonometriche inverse: 1, 2, 3, 5,...,17)

4- LIMITI DI FUNZIONI REALI. Limite di una successione: successioni convergenti, divergenti, irregolari. Esempi ed applicazioni. Punti di accumulazione di un sottoinsieme di R.

Definizione di limite di una funzione reale di variabile reale, teorema di unicit`a del limite(*).

Operazioni sui limiti. Teorema della permanenza del segno, teoremi di confronto e doppio confronto(*). Limite di una funzione composta, cambiamento di variabile nei limiti. I limiti notevoli Applicazioni allo studio dei limiti. (1 CFU)

Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5^a edizione.

Capitolo 9

(9.1, Limiti di successioni: 1,...., 12, 14,..., 26, 29).

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Capitolo 1

(1.2, Limiti di funzioni: 7,....,36, 49,...., 56, 59, 60);

(1.3, Limiti di funzioni: 1,....,34);

(1.5, Limiti di funzioni: 11,....,20, 27,...., 30);

(1.Riassunto, Limiti di funzioni: 5,....,30).

Capitolo 3

(3.4, Limiti coinvolgenti le funzioni esponenziali e logaritmiche: 1,....,8);

Capitolo 4

(4.3, Limiti coinvolgenti le funzioni trigonometriche: 1,....,13)

5- FUNZIONI CONTINUE. Funzioni continue e propriet`a. Teorema di permanenza del segno per funzioni continue. Teorema di Bolzano o degli zeri (*) ed applicazioni. Minimo e massimo di una funzione reale, il Teorema di Weierstrass. Il Teorema dei valori intermedi(*).

Continuit`a delle funzioni elementari. (0,5 CFU)

Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5^a edizione.

6- CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di derivata, funzioni derivabili. Interpre- tazione geometrica e cinematica della derivata. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Minimi e massimi locali di una funzione, il Teorema di Fermat(*). I Teoremi di Rolle(*), Cauchy e Lagrange(*). I Teoremi di de L’Hopital e le applicazioni allo studio dei limiti. Criteri di monotonia per funzioni derivabili. Concavit`a, convessit`a, flessi. Criteri di convessit`a. Asintoti di una funzione. Studio del grafico di una funzione reale. Polinomio di Taylor di una funzione derivabile. Formule di Taylor con il resto di Peano e di Lagrange.

Alcuni sviluppi di funzioni elementari. (2 CFU)

Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5^a edizione.

Capitolo 2

(2.1, Calcolo di rette tangenti: 1,...., 10, 13,...., 24);

(2.2, Sulla definizione di derivata: 11,...., 39);

(2.3, Calcolo di derivate: 1,...., 30);

(2.4, Derivate di funzioni composte: 1,...., 16);

(2.5, Derivate di funzioni trigonometriche: 3,..., 34);

(2.8, Teorema di Lagrange e Teoremi di monotonia: 1,...., 4, 8,...., 15) Capitolo 3

(3.3, Derivate di funzioni esponenziali e logaritmiche: 19,....,48);

(3.5, Derivate delle funzioni trigonometriche inverse: 19,...,30) Capitolo 4

(4.3, Applicazioni del Teorema di De l’Hopital: 14,....,28) (4.4, Estremi di una funzione: 1,....,44);

(4.5, Concavit`a: 1,....,35);

(4.6, Diagrammi qualitativi di funzioni: 7,....,39);

(4.9, Linearizzazione: 1,....,10,15,...,22);

(4.10, Applicazioni del Teorema di Taylor: 1,...,26);

7- CALCOLO INTEGRALE. Primitive di una funzione e propriet`a, l’integrale indefinito di una funzione. Primitive delle funzioni elementari. Tecniche di integrazione indefinita:

integrazione per parti, per sostituzione ed applicazioni. Integrale di Riemann e suo significato geometrico, l’area di un rettangoloide. Propriet`a dell’integrale di Riemann. Integrabilit`a delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Media integrale e teorema del valor medio(*).

Teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Formula fondamentale del calcolo integrale(*).

Applicazioni al calcolo di aree di domini del piano. (1 CFU) Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5^a edizione.

Capitolo 5

(5.3, Somme integrali: 1,....,6);

(5.4, Calcolo di integrali mediante il calcolo di aree: 3,...., 41);

(5.5, Integrali definiti e funzioni integrali: 1,...., 44);

(5.6, Metodo di sostituzione: 1,...., 24, 26, 28, 32,...., 36, 39,...., 47);

(5.7, Calcolo di aree: 1,...., 16).

Capitolo 6

(6.1, Integrazione per parti: 1,...., 23);

(6.2, Integrazione di funzioni razionali: 1,...., 6, 9,...., 16, 20,...., 28);

(6.3, Integrazione di funzioni irrazionali: 1,..., 10, 14, 15, 17,..., 20, 24,..., 31, 33,..., 36);

(6.5, Integrali impropri: 1,...., 22, 30,..., 37, 40, 41).

(6, Riassunto, Tecniche di integrazione: 1,...., 14, 16,...., 40, 42,...., 57, 59, 61,...., 80).

Capitolo 7

(7.1, Calcolo di volumi: 1,...., 23);

(7.3, Calcolo di lunghezze di grafici di funzioni: 1,....,14).

II MODULO (6 CFU)

8 - INTEGRALI IMPROPRI E SERIE NUMERICHE. Integrali impropri ed appli- cazioni, criteri di integrabilit`a. Serie numeriche: definizioni ed esempi. Operazioni con le serie. Condizione necessaria di convergenza(*). Serie a termini di segno costante. Criteri di convergenza: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio della radice e del rapporto, criterio dell’integrale. Convergenza assoluta di una serie. Serie a segno alterno, criterio di Leibnitz. (1 CFU)

Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5^a edizione.

Capitolo 6

(6.5, Integrali impropri: 1,...., 22, 30,..., 37, 40, 41).

Capitolo 9

(9.2, Serie: 1,..., 18).

9 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Generalit`a sulle equazioni differenziali, equazioni differenziali lineari, problemi di Cauchy. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equa- zioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee. Equazioni lineari a coefficienti costanti. Metodo della variazione delle costanti,

principio di similarit`a. (1,5 FU).

Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 2, 5^a edizione.

Capitolo 9

(9.1, Generalit`a sulle equazioni differenziali: 1,..., 18).

(9.2, Equazioni del primo ordine.: 1,..., 8).

(9.4, Equazioni del secondo ordine.: 1,..., 6).

(9.5, Equazioni lineari a coefficienti costanti.: 1,..., 5).

(9.6, Equazioni lineari non omogenee.: 1,..., 14).

(9, Riepilogo: 1,..., 9, 12,..., 15, 17,...,23, 25,..., 27).

10 - FUNZIONI DI PI `U VARIABILI REALI. Lo spazio vettoriale R<sup>N</sup>. Norma e prodotto scalare in R<sup>N</sup>. Topologia dei sottoinsiemi di R<sup>N</sup>: insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi connessi, punti di accumulazione. Funzioni reali di pi`u variabili reali: definizione e propriet`a, operazioni con le funzioni di pi`u variabili. Limite di una funzione di pi`u variabili e propriet`a. Funzioni continue e loro propriet`a. (0,5 CFU) 11- CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI A PI `U VARIABILI. Derivate parziali di una funzione. Funzioni differenziabili, piano tangente al grafico di una funzione. Gradiente di una funzione in un punto. Derivata direzionale di una funzione e suo significato geometrico. Derivata delle funzioni composte. Derivate parziali di ordine superiore, il Teorema di Schwartz. Il Teorema di Lagrange, formula di Taylor con il resto di Lagrange. Minimi e massimi locali per una funzione reali di pi`u variabili, il teorema di Fermat(*). Punti stazionari di una funzione di pi`u variabili e loro classificazione, matrice hessiana di una funzione. Cenni sulle funzioni a valori vettoriali, la matrice Jacobiana. Proriet`a delle curve, curve regolari, lunghezza di una curva. Integrali curvilinei. Campi vettoriali conservativi. (2,5 CFU) Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 2, 5^a edizione. Capitolo 4 (4.1, Valori estremi: 1,..., 22).

Capitolo 6 (6.2, Campi conservativi: 1,..., 8).

(6.3, Integrali curvilinei: 1,..., 10).

12 - INTEGRALI MULTIPLI. Cenni sulla teoria della misura di Peano-Jordan in uno spazio euclideo R^N: insiemi misurabili, area e volume. Cenni sulla definizione di integrale di Riemann di una funzione su un insieme misurabile. Integrale doppio di una funzione su un dominio misurabile del piano. Formule di riduzione di integrali doppi su domini normali del piano. Integrali doppi in coordinate polari. (0,5 CFU) Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 2, 5^a edizione. Capitolo 5 (5.2, Integrali doppi in coordinate euclidee: 1,..., 28).

(5.3, Integrali doppi in coordinate polari: 1,..., 14).

(5, Riepilogo: 1,..., 5).

P.S. `E richiesta la dimostrazione dei Teoremi contrassegnati da (*).

Testi consigliati

[1] R. A. Adams. Calcolo Differenziale 1. Casa Editrice Ambrosiana, Milano 2014.

[2] R. A. Adams. Calcolo Differenziale 2. Casa Editrice Ambrosiana, Milano 2014.