Prof. Piccinini Esercitazioni

Fisica B

Prof. Piccinini Esercitazioni

Dott. Gianluca Pagnoni

E-mail: gianluca.pagnoni3@unibo.it

Operatore differenziale Nabla

k z j y

i x

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

≡ ∂

∇ r ˆ ˆ ˆ

Consideriamo un campo vettoriale generico:

z z

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

≡ ∂

∇ ˆ ˆ 1 ˆ

φ φ ρ

ρ ρ

r

φ φ θ

θ θ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

≡ ∂

∇ sin

ˆ 1 ˆ 1

ˆ r r r

r r

coordinate cartesiane

coordinate cilindriche

coordinate sferiche

Può essere applicato come divergenza e restituisce un numero reale:

z y

x v

v z v y

v x

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅

∇r r

Può essere applicato come rotore e restituisce un’ altro campo vettoriale

(

) ⁽

⁾ (

)

z y

x

z y

x i v v j v v k v v

v v

v

k j

i

v = ∂ ∂ ∂ = ∂ − ∂ − ∂ − ∂ + ∂ − ∂

∧

∇ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

r r

dove:

z y x

z y x

∂

∂ =

∂

∂

∂ =

∂

∂

∂ =

∂

Data una funzione f (x, y, z)

ˆ ˆ

ˆ + ∂ + ∂

= ∂

∇ r

Calcolare la divergenza del campo vettoriale ^{vr =}

(

)

( )

⋅









∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⋅

∇ x xy xy z

z y

vr x , , ², ,

Calcolare il rotore del campo vettoriale ^{vr =}

(

)

(

)

⁽

⁾

(

)

=

×

∇ vr _yv_{z z}v_y iˆ _xv_{z z}v_x ˆj _xv_{y y}v_x kˆ 2x + x− xy z2

(

) (

) (

)

=

Siano dati il vettore costante e il campo vettoriale . Calcolare il gradiente della grandezza .

(

)

vr = ², ,

v cr r

⋅

(

)

cr =

( )

( ) ( )









∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⋅

∇ c c c x xy xy z

z y

v x

c r , , ₁, ₂, ₃ ², ,

(

)









∂

∂

∂

∂

∂

= ∂ c x c xy c xy z z

y

x ^{2 3}

2

, 1

,

(

)

=

1 - metodo: calcolo diretto

( )

∫∫

∫∫

⋅

= Σ

⋅

1 1

) ,

0 , 0 ( ,

3 x, y z x y

v^r

δ

δ δ

(

)

y x , 3 ,

) ,

0 , 0 (

=

= Σ r

r

δ δ

δ

=

=

=

∫∫ ∫∫

Σ

Σ₁ 3 a3 L2 ₁ x y y

x a z

δ δ δ

δ

6 6

3

2 aL

aL L

=

= ^y

z

L

L

δΣ v

L/2

Dato il campo vettoriale calcolarne il flusso attraverso una superficie cubica di lato L centrata

nell’origine

) ,

, 3 (

1 a x y z vr =

∫∫∫ ∫∫

Σ Σ

Σ

⋅

=

⋅

∇

V

v V

v

r r

r

δ δ

Calcoliamo allora vr

⋅

∇

a a a

a z a

y z x

y

v x ⋅ = + + =









∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⋅

∇ r , , ( , , ) 3 3 3 3

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

Σ Σ

=

=

= Σ

⋅

Σ V V

aL V

a V

a

v^r

δ

δ δ

2 - metodo: utilizziamo il teorema della divergenza

Dato il campo vettoriale calcolarne il flusso attraverso una superficie cubica di lato L centrata nell’origine

) , , 3 (

1 a x y z

vr =

Il campo elettrico si annulla ne punto P se: = 9 Q

q r r

E Q ˆ

4 1

2

πε

r =

Due cariche sono disposte come in figura. Calcolare il rapporto delle cariche affinchè il campo elettrico nel punto P sia nullo.

d d/2

-Q P

+q

In questo punto il campo elettrico complessivo è nullo

q Q x d

+

= 1

r r

E Q ˆ

4 1

2

πε

r =

Due cariche elettriche sono disposte come in figura. Calcolare il

potenziale elettrostatico in un generico punto dell’asse x. Determinare in quale punto dell’asse si annulla la derivata del potenziale elettrostatico rispetto alla variabile x.

d

+Q +q

I vettori del campo elettrico generati in P dalle diverse cariche sono tutti collineari per cui possono essere sommati come numeri dotati di segno

1 1 1

3 2

1 q q q q q

=





−

−

=





−

−

r r

E Q ˆ

4 1

2

πε

r = Principio di sovrapposizione

Calcolare nel punto P ,modulo direzione e verso del campo elettrico generato dalle cariche elettriche indicate in figura

L L L

q P

-2q -3q

A) Q 2Q d r r

r Q r

Q

F_A Q 2 ˆ

2 ˆ

2 2

2 =

= ⋅ r

B) 2 3Q

2

3Q d r

r r Q

r Q

F_B Q 1 ˆ

4 ˆ 9

1 2 3 2

3

2 2

2 =

⋅ r =

A

B r F

r F Q

r r

8 ˆ 9 2

8 9

2

2 =

=

=

−

=

∫

A

V V

l E

r r

δ



 



 −

2 1 1

4 ₀ L L

Q

πε

E Q 1 ˆ 4

πε

( )

r r Q

V

4 0

1

πε

Calcolare l’integrale di linea del campo elettrostatico generato dalla carica elettrica q lungo il percorso tratteggiato che congiunge A e B

B

L

q ^A

L

Campo elettrostatico è conservativo

gradV Er = −

( )

4 0

1

x d

L E_x x

= −

λ λδ δ πε

( )

∫

=

L

x L d x

E x

0

2

4 0

δ πε

λ

( )





−

= +

L d

d x

d E L

L x

1 1

4 1

4 _{0 0}

πε

λ πε

λ

=

λ

Calcolare modulo direzione e verso del campo elettrostatico generato nel punto P dalla

distribuzione lineare finita ed uniforme di carica elettrica indicata in figura

E

r _P

L d

λ

( )

∫

=

L

x L d x

x d

E L

0

2 0

) (

4

δ πε

λ

∞

∫

∞_P = ^P F_est ⋅ l L

r r

δ

R

P

λ

q ∞

E q F_est

r r = −

(

)

P

P q E l q V V qV

L_∞ = −

∫

^δ

dove è il campo elettrico generato dall’anello carico

E r

( )

r r Q

V 4

1

πε

Data una distribuzione lineare di carica elettrica in forma circolare di raggio R, ed avente densità lineare λ uniforme, calcolare il lavoro necessario per trasportare una carica puntiforme q dall’infinito al centro della distribuzione stessa

La superficie laterale di un cono e di una semisfera sono unite in modo da formare una superficie chiusa S. Internamente ad S,

nel centro del cerchio che costituisce il bordo comune delle superfici di cui sopra, è posizionato un elettrone (q=-1.60x10^-18 C). Calcolare il flusso del campo elettrostatico Φ(E) attraverso la superficie laterale del cono nell’ipotesi che il raggio della

semisfera valga R=10 cm (ε₀=8.85x10^-12C²/Nm²

R

q

S q = −1.60×10⁻¹⁹C

2 2

12

0 = 8.85×10⁻ C Nm

ε

cm R =10

( )

Φ E r

Considerando ora una superficie sferica centrata in q, la legge di Gauss ci dice

da cui

0

2

δ ε

δ δ

δ

E

Semisfera Semisfera

Semisfera S

=

⋅

=

⋅ +

⋅

=

⋅

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫

2

ε

δ

Semisfera

=

∫∫

Dalla legge di Gauss si ha che

ε

δ

E

S

=

∫∫

. 0

.

δ ε

δ

δ

E

Cono Lat

Sup semisfera

S

=

⋅ +

⋅

=

⋅

∫∫ ∫∫

∫∫

Esame 24/09/2008

kQ F

k E

V

E = −∇ , = , =

La differenza di potenziale elettrostatico tra due punti A e B è definita come il lavoro cambiato di segno per portare la carica unitaria da A a B.

Esame 24/09/2008

Esame 14/06/2010

Esame 14/06/2010